Fisika Dasar

FISIK A DASA R
MIRZA SATRIAWAN
Novemb er 6, 2007
Daftar Isi
1 Pendahuluan 4
1.1 B esaran dan Pengukuran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Pe njumlahan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Pe rkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Kinematika Ge rak Lurus 13
2.1 Posisi, Kecepatan dan Percepatan . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Ge rak dengan ke cepatan kons tan . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Ge rak dengan p ercepatan konstan . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Kombinasi ge rak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Ge rak melingkar b eraturan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Ge rak Relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Dinamika 28
3.1 Ine rs ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Hukum New ton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
DAFTAR I SI 2
3.3 B eb erapa Je nis Gaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Dinamika 2 - Usaha dan Tenaga 37
4.1 Usaha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Teorema Us aha-Ene rgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Gaya K onse rvatif dan Energi Potens ial . . . . . . . . . . . . . 40
5 Sistem Partikel 44
5.1 Pus at M ass a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Ge rak Pus at M ass a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Tumbukan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.1 Tumbukan elastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.2 Tumbukan tak elas tik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Rotasi Benda Tegar 52
6.1 Kine matika Rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Dinamika Rotas i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.1 Torka dan momentum sudut . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Sistem partike l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 Energi Kine tik Rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4.1 Teore ma sumbu sej a jar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4.2 Teore ma sumbu tegak lurus . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5 Usaha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.6 Gabungan G erak Trans lasi dan Rotas i . . . . . . . . . . . . . 61
DAFTAR I SI 3
6.7 Ke setimbangan Benda Tegar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.8 Jenis -Jenis Kese imbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 GRAVITASI 68
7.1 Hukum G ravitasi U niversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Me dan G ravitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3 Energi Potensial Gravitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 FLUIDA 76
8.1 Tekanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2 Tekanan Hidrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3 Prinsip Pasc al dan Archime des . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4 Pengukuran Tekanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.5 Jenis -Jenis Aliran Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.6 Persamaan K ontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.7 Persamaan B ernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 GETARAN DAN G ELOMBANG 88
9.1 GE TARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.1.1 B andul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.1.2 B andul Mekanis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2 Ge taran Teredam dan Resonans i . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.1 Resonans i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.3 Energi G etaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
DAFTAR I SI 4
9.4 GE LOMB ANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5 Sup erp osisi Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.1 B eda fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.2 B eda arah kecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.5.3 B eda frekeunsi dan panjang gelombang . . . . . . . . . 99
Bab 1
Pe ndahuluan
1.1 Be saran dan Pengukuran
Fisika adalah ilmu yang memp ela jari b enda- b enda se rta f enome na dan ke adaan
yang terkait dengan b enda-b e nda tersebut. Untuk menggambarkan suatu
fenomena yang terj adi atau dialami suatu b enda, maka dide ﬁnisikan b erba-gai b es aran-b es aran ﬁs ika. B esaran- b esaran ﬁsika ini misalnya panjang,
jarak, massa, waktu, gaya, ke cepatan, temp eratur, intens itas c ahaya, dan
sebagainya. Terkadang nama dari b es aran-b esaran ﬁsika tadi memiliki ke-samaan dengan is tilah yang dipakai dalam kes eharian, tetapi p erlu dip er-hatikan bahwa b esaran- b esaran ﬁsika te rs ebut tidak selalu memiliki p e nger-tian yang sama dengan istilah- istilah kes eharian. Sep erti misalnya istilah
gaya, us aha, dan momentum, yang me miliki makna yang b erb eda dalam
keseharian atau dalam bahasa-bahasa sastra. Misalnya, “Anak itu b e rgaya
5
BAB 1. P ENDAH ULUAN 6
di depan kaca”, “Ia b e rus aha keras menyele saikan s oal ujiannya”, “Momen-tum p erubahan p olitik s angat tergantung pada kondisi ekonomi negara”.
Be sara-b e saran ﬁsika dide ﬁnisikan sec ara khas, s ebagai suatu is tilah ﬁs ika
yang memiliki makna tertentu. Te rkadang b esaran ﬁsika tersebut hanya
dapat dimengerti dengan me nggunakan bahasa matematik, terkadang dapat
diuraikan dengan bahasa sederhana, te tapi selalu terkait de ngan p engukuran
(baik langsung maupun tidak langsung). Semua b esaran ﬁsika harus dapat
diukur, atau dikuatiﬁkasikan dalam angka-angka. Ses uatu yang tidak da-pat dinyatakan dalam angka- angka bukanlah b e saran ﬁsika, dan tidak akan
dapat diukur.
Mengukur adalah membandingakan antara dua hal, biasanya salah sat-unya adalah suatu standar yang menjadi alat ukur. Ketika kita mengukur
jarak antara dua titik, kita membandingkan j arak dua titik tersebut dengan
jarak suatu standar panjang, misalnya panjang tongkat meteran. Ketika kita
mengukur b erat s uatu b e nda, kita membandingkan b erat b e nda tadi dengan
b erat b e nda standar. Jadi dalam mengukur kita membutuhkan standar se-bagai p embanding b esar sesuatu yang akan diukur. Standar tadi kemudian
biasanya dinyatakan memiliki nilai satu dan dij adian sebagai acuan s atuan
tertentu. Walau kita dapat se kehendak kita menentukan s tandar ukur, tetapi
tidak ada artinya bila tidak sama di seluruh dunia, karena itu p e rlu diadakan
suatu standar internasional. Selain itu standar te rs ebut haruslah praktis dan
mudah dipro duksi ulang di manapun di dunia ini. s istem standar interna-sional ini sudah ada, dan sekarang dikenal dengan Sistem Inte rnasional (SI ).
BAB 1. P ENDAH ULUAN 7
Terkait dengan SI , terdapat satuan SI.
Antara b e saran ﬁs ika yang satu dengan b esaran ﬁsika yang lain, mungkin
terdapat hubungan. H ubungan-hubungan antara b es aran ﬁs ika ini dapat
dinyatakan sebagai p ersamaan-p ersamaan ﬁsika, ketika b es aran- b esaran tadi
dilambangkan dalam simb ol- simb ol ﬁsika, untuk meringkas p enampilan er-samaannya. Karena b e saran-b e saran ﬁs ika terse but mungkin saling terkait,
maka tentu ada sej umlah b e saran yang mendasari semua b esaran ﬁs ika yang
ada, yaitu semua b esaran- b esaran ﬁsika dapat dinyatakan dalam s ejumlah
tertentu b es aran- b esaran ﬁsika, yang disebut s ebagai b e saran-b e saran dasar.
Terdapat tuj uh buah b esaran dasar ﬁsika (dengan s atuannya masing-masing)
1. panjang (meter)
2. massa (kilogram)
3. waktu (s ekon)
4. arus listrik (amp ere)
5. temp eratur (kelvin)
6. jumlah zat (mole)
7. intensitas cahaya (candela)
Satuan SI untuk panj ang adalah meter dan satu meter dideﬁnisikan s ebagai
1650763,73 kali panjang gelombang cahaya transis i 2p10 - 5d5 isotop Kr86 .
Satuan SI untuk waktu adalah sekon dan satu sekon dideﬁnis ikan sebagai 9
BAB 1. P ENDAH ULUAN 8
192 631 770 kali p erio de trans isi tertentu aton Cs 133 . Satuan SI untuk massa
adalah kilogram, dan satu kilogram dideﬁnisika s ebagai mass a s ebuah s ilinder
patinum iridium yang disimpan di Lembaga B erat dan Ukuran Internasional
di Prancis. Tetapi selain itu juga terdapat standar mas sa non SI, yaitu
standar mas sa atom yang diambil b erdasarkan mass a satu atom C12 yang
tepat dideﬁnisikan b ermassa 12 dalam satuan mass a atom terpadu (amu
atomic mass unit, disingkat u).
Be saran-b e saran ﬁsika s ecara umum dapat dikelomp okkan menjadi tiga
jenis , b e saran skalar, b esaran vektor dan b esaran tensor. Untuk b es aran
tensor, tidak akan dip e la jari dalam p ela jaran ﬁs ika dasar. Bes aran skalar
adalah b esaran yang me miliki nilai sa j a, sedangkan b e saran ve ktor adalah
b es aran yang s elain memiliki nilai juga memiliki arah. Kare na konsep tentang
vektor banyak digunakan dalam ﬁsika, maka akan dijelaskan lebih lanjut
sec ara singkat mengenai b esaran vektor ini.
1.2 Ve ktor
Sebagai c ontoh yang mudah untuk dipahami dari s ebuah vektor adalah vek-tor p osisi. Untuk me nentukan p osisi sebuah titik relatif terhadap titik yang
lain, kita harus memiliki s istem ko ordinat. Dalam ruang b e rdime nsi tiga,
dibutuhkan sistem ko ordinat, x, y , z untuk me ndis kripsikan p osis i suatu titik
relatif terhadap suatu titik asal (O ). Vektor p osis i s uatu titik P, relatif ter-hadap titik asal digambarkan di bawah ini.
BAB 1. P ENDAH ULUAN 9
1.2.1 Penjumlahan Vektor
Dari konse p vektor p osisi juga dikembangkan konsep p e njumlahan ve ktor.
Ve ktor p osisi titik A adalah ~A , sedangkan p os isi titik B ditinjau dari titik A
adalah B . Vektor p osisi titik B adalah vektor ~C , dan ~C dapat dinyatakan
sebagai jumlahan vektor ~A dan vektor ~B , ~A + ~B = ~C .
BAB 1. P ENDAH ULUAN 10
Negatif dari suatu vektor ~A dituliskan s ebagai − ~A dan dideﬁnisikan se-bagai sebuah vektor dengan b esar yang sama de ngan b esar vektor ~A tetapi
dengan arah yang b erlawanan, sehingga ~A + (−1) ~A = 0. Dari s ini konse p
p engurangan ve ktor muncul, jadi
~A − ~B = ~A + (−1) ~B .
Aljabar vektor b ersifat komutatif dan as os iatif. Jadi ~A + ~B = ~B + ~A , dan
~A + ( ~B + ~C ) = ( ~A + ~B ) + ~C
Dalam ruang b erdimensi tiga terdapat paling banyak tiga vektor yang
dapat s aling tegak lurus. Vektor- vektor yang saling tegak lurus ini dapat
dijadikan vektor-vektor basis . Dalam sistem ko ordinat kartesan, s ebagai
vektor-vektor basis biasanya diambil vektor-vektor yang mengarah ke arah
sumbu x , y , dan z p ositif, dan dib eri simb ol ˆx , ˆy , dan ˆz . Vektor-vektor ba-sis ini juga dipilih b ernilai satu. Sehingga sebarang vektor ~A dalam ruang
dimensi tiga dapat dinyatakan sebagai j umlahan vektor-vektor basis dengan
ko e ﬁsien-ko eﬁsien A x , Ay , Az yang dis ebut se bagai komp onen vektor dalam
arah basis x, y dan z .
~A = A x ˆx + A y ˆy + A z ˆz
Dari trigonometri dapat diketahui bahwa bila sudut antara vektor ~A
dengan sumbu x , y , dan z adalah θ x , θ y , dan θ z , maka A x = A cos θ x ,
A y = A cos θ y , dan A z = A cos θ z , dengan A adalah b e sar ~A . Dari teorema
BAB 1. P ENDAH ULUAN 11
Phytagoras, dip e roleh bahwa A = p A 2
x + A 2
y + A 2
z .
1.2.2 Per kalian
Dua buah vektor dapat ‘dip erkalikan’. Kons ep p e rkalian antar vektor sangat
b ermanfaat dalam p erumusan b erbagai p ersamaan-p ersamaan ﬁsika. K onsep
p erkalian dalam vektor sangat b erb eda dengan s eke dar memp e rkalian dua
buah bilangan (skalar), dan memiliki deﬁnisi tersendiri. Dua buah ve ktor
dapat dip erkalikan menghasilkan s ebuah skalar ataupun sebuah vektor baru.
Perkalian yang me nghasilkan skalar disebut s ebagai p erkalian s kalar atau
p erkalian titik (dot product ), dan dideﬁnisikan sebagai
~A · ~B = AB cos θ
dengan θ adalah s udut antara vektor ~A dan ~B . Bes ar vektor ~C = ~A + ~B
BAB 1. P ENDAH ULUAN 12
dapat dinyatakan dalam p erumus an b erikut ini
C = q ( ~A + ~B ) · ( ~A + ~B ) =
√
A 2 + B 2 + 2AB cos θ
Bila ~A dan ~B dinyatakan dalam komp onen- komp onennya, ~A = A x ˆx + A y ˆy +
A z ˆz dan ~B = Bx ˆx + By ˆy + Bz ˆz , maka
~A · ~B = A x Bx + A y By + A z Bz
karena ˆx · ˆy = ˆx · ˆz = ˆy · ˆz = c os 900 = 0 (saling tegak lurus), dan ˆx · ˆx =
ˆy · ˆy = ˆz · ˆz = cos 0 0 = 1. Dengan mengalikan sebarang ve ktor ~A dengan
sebuah vektor basis , akan didapatkan proyeksi ~A ke arah vektor basis tadi,
jadi misalnya ~a · ˆx = A x .
Perkalian dua buah ve ktor yang menghasilkan sebuah vektor, disebut
sebagai p e rkalian silang (cross product ), untuk dua buah ve ktor ~A dan ~B
BAB 1. P ENDAH ULUAN 13
dituliskan
~A × ~B = ~C
Ve ktor ~C di sini adalah s uatu vektor yang arahnya tegak lurus terhadap
bidang di mana ~A dan ~B b erada, dan ditentukan ole h arah putar tangan
kanan yang diputar dari ~A ke ~B . B esar ve ktor ~C dideﬁnisikan sebagai
C = | ~A × ~B | = AB sin θ
Be sar vektor ~C ini dapat diinterpretasikan sebagai luas an ja jaran genjang
yang dua s isinya dibatasi ole h ~A dan ~B Sesuai de ngan deﬁnis inya, maka
~A × ~B = − ~B × ~A . Untuk ve ktor-vektor basis, dip eroleh ˆx × ˆy = ˆz , ˆy × ˆz = ˆx ,
ˆz × ˆx = ˆy , dan ˆx × ˆx = ˆy × ˆy = ˆz × ˆz = 0.
Bab 2
Kine matika Ge rak Lurus
2.1 Posisi, Ke cepatan dan Pe rce patan
Dalam bab ini kita akan meninjau gerak titik partikel secara geometris , yaitu
meninjau gerak partikel tanpa me ninjau p enyebab geraknya. Cabang ilmu
mekanika yang meninjau gerak partikel tanpa meninj au p enye bab geraknya
disebut sebagai kinematika. Walaupun kita hanya meninjau ge rak titik
partikel, tetapi dapat dimanfaatkan j uga untuk memp ela j ari gerak b enda
maupun s istem yang bukan titik. Karena selama p engaruh p e nyebab gerak
partikel hanya p e ngaruh eksternal, maka gerak kes eluruhan b enda dapat di-wakili ole h gerak titik pusat mas sanya. Pembuktian terhadap p ernyataan ini
akan dib erikan b elakangan.
Kondisi ge rak suatu titik partikel dideskripsikan ole h p erubahan p os isi
partikel s ebagai fungsi waktu, ~r (t). Dalam mekanika klas ik waktu diang-14
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 15
gap tidak b ergantung pada sistem kerangka ko ordinat yang dipilih, waktu
hanya s ebagai se suatu yang me ngalir b e bas dari b e saran-b es aran ﬁs is lain-nya. Bila fungs i ~r (t) sudah diketahui untuk sebarang waktu t, maka keadaan
gerak partikel tadi secara praktis sudah diketahui. Tetapi terkadang infor-masi tentang gerak partike l tidak dike tahui dalam b entuk p os isi tetapi dalam
b es aran-b es aran lain yang akan kita de ﬁnisikan.
Dalam selang waktu ∆ t, p osisi partikel akan b erpindah dari ~r (t) menjadi
~r (t + ∆t). Ve ktor p erubahan p os isinya adalah
∆~r = ~r (t + ∆t) − ~r (t)
Kec epatan se buah aprtike l adalah la ju p erubahan p os isi partikel te rhadap
waktu. Kecepatan re rata partikel tadi dalam selang waktu ∆ t dideﬁnisikan
sebagai
~¯v =
∆~r
∆t
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 16
Sedangkan kec epatan se saat pada saat t dideﬁnisikan sebagai
~v ≡ lim
∆ t→0
∆~r
∆t ≡ d~r
dt
Be sar dari vektor ke cepatan sering juga dis ebut s ebagai kela juan. K ela juan
dari sebuah partikel dapat tidak b e rubah walaupun kecepatannya b erubah,
yaitu bila vektor kece patan b erubah arahnya tanpa b erubah b esarnya.
Bila ke cepatan sebuah partikel pada saat t adalah ~v (t) maka setelah selang
waktu ∆t kecepatannya adalah ~v (t + ∆ t). Perubahan kece patannya selama
selang ∆t dib erikan oleh
∆v = ~v (t + ∆t) − ~v (t)
Percepatan sebuah partikel adalah la ju p erubahan keceatan partikel ter-hadap waktu. Percepatan rerata partike l tadi dideﬁnisikan s ebagai
~¯a ≡ ∆v
∆t
sedangkan p ercepatan sesaatnya pada saat t dideﬁnisikan sebagai
~a ≡ lim
∆ t→0
∆~v
∆t ≡ d~v
d t
.
Karena kece patan dapat dituliskan se bagai de rivatif p osis i terhadap waktu,
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 17
maka p ercepatan adalah derivatif kedua p osisi terhadap waktu, yaitu
~a ≡ d 2 ~r
dt2 .
2.2 Gerak de ngan kecepatan konstan
Bila ke cepatan partikel kons tan ~v , maka p ercepatannya nol. Untuk kasus
ini p osisi partike l pada waktu t dapat diketahui melalui integrasi p e rs amaan
b erikut ini
d~r = ~v dt
yang bila diinte gralkan dari s aat awal t0 dengan p os isi ~r (0) ke s aat akhir t
dengan p os isi ~r (t) Z ~r ( t)
~r (0)
d~r = ~v Z t
0
d t
~r (t) − ~r (0) = ~v (t − 0)
atau
~r (t) = ~r (0) + ~v t
Graﬁk hubungan p osisi dan waktu me mb e ntuk garis lurus de ngan nilai
gradien graﬁk (kemiringan graﬁk) sama de ngan nilai kecepatan yang konstan
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 18
2.3 Gerak de ngan p e rce patan konstan
Bila p ercepatan partikel konstan ~a, kecepatan partikel dapat ditentukan dari
integrasi p ersamaan b erikut ini
d~v = ~adt
yang bila diinte gralkan dari saat awal t0 dengan kec epatan ~v (0) ke saat akhir
t dengan ke cepatan ~v (t) Z ~v ( t)
~v (0)
d~v = ~a Z t
0
dt
~v (t) − ~v (0) = ~a(t − 0)
atau
~v (t) = ~v (0) + ~a t
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 19
dari p ersamaan ini, dengan memakai deﬁnisi kecepatan sebagai derivatif p o-sisi terhadap waktu, dip erole h p ersamaan b erikut ini
d~r = ~v (0)d t + ~a(t − 0)d t
yang bila diinte gralkan dari s aat awal t0 dengan p os isi ~r (0) ke s aat akhir t
dengan p os isi ~r (t), dip e roleh
Z ~r ( t)
~r (0 )
d~r = Z t
0
~v (0)d t + ~a(t − 0)d t
dan dip eroleh
~r (t) = ~r (0) + ~v (0) t +
1
2
~a t2
Graﬁk p osisi sebagai fungs i dari waktu b erb entuk graﬁk kuadratis (parab o-lik), dengan gradie n graﬁk sama dengan b esar kec epatan partikel pada s aat
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 20
tertentu. Sedangkan graﬁk kecepatan s ebagai f ungsi waktu b erb entuk garis
lurus de ngan gradien graﬁknya sama de ngan b es ar p ercepatan partikel.
Dengan meninjau ge rak satu dimensi, dapat juga dituliskan
a =
d v
dt
=
dv
dr
dr
d t
= v
dv
dr
atau dapat ditulis kan
v dv = a d r
yang bila diintegralkan dari p os isi dan kecepatan awal r (0) dan v (0) ke p os isi
dan kecepatan akhir r (t) dan v (t) maka dip eroleh
Z v ( t)
v (0 )
v dv = a Z r ( t)
r (0)
d r.
Hasilnya
v (t)2 = v (0) 2 + 2a (r (t) − r (0))
Sebagai contoh ge rak dengan p erce patan konstan adalah ge rak partikel
jatuh b ebas di de kat p ermukaan bumi. Dapat ditunjukkan bahwa untuk ket-inggian yang tidak terlalu jauh dari p ermukaan bumi, p ercepatan gravitasi g
yang dialami sebuah b enda yang j atuh b ebas, b ernilai konstan. Dalam kasus
b enda jatuh b ebas, bila arah p ositif dipilih ke arah atas, maka p erce patan
b enda a = −g (ke bawah).
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 21
2.4 Kombinasi ge rak
Be saran-b e saran gerak yang b erupa b es aran vektor dapat diuraikan menjadi
komp onen-komp one nnya dalam setiap arah vektor-vektor bas isnya. Sehingga
gerak dalam dua dimens i dapat diuraikan me njadi kombinasi dua gerak satu
dimensi dalam dua arah yang saling tegak lurus (misalnya dalam arah x
dan y ). Demikian juga gerak dalam tiga dimensi dapat diuraikan men-jadi kombinasi tiga gerak satu dimensi dalam tiga arah yang saling te gak
lurus (dalam arah x , y , dan z ). Semua p ersamaan-p e rs amaan kinematika
gerak lurus dalam bab se b elumnya, dapat digunakan untuk mende skrips ikan
gerak dalam masing- mas ing arah. Se bagai c ontoh akan dib erikan ge rak par-tike l dalam dua dimens i (bidang) yang mengalami p ercepatan kons tan dalam
arah vertikal dan tidak mengalami p ercepatan dalam arah horiz ontal. Ap-likasi dari gerak ini adalah gerak p eluru, yang lintas annya b erupa lintasan
parab olik.
Misalkan di titik asal ko ordinat (0, 0) sebuah partikel b ergerak dengan
kecepatan awal ~v 0 yang memb entuk sudut θ terhadap sumbu x . Partike l
ini mengalami p ercepatan gravitasi seb e sar −g (ke arah sumbu y negatif ).
Kec epatan awal partikel dapat diuraikan menjadi komp onen x dan y , yaitu
v 0 x = v 0 cos θ dan v 0 y = v 0 sin θ . Gerak partike l se karang dapat dianalis a
sebagai gerak dengan kecepatan konstan pada arah x dan ge rak dengan p er-cepatan konstan pada arah y . Se suai p embahasan pada bagian seb elum ini,
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 22
p osisi partike l pada arah x dan y dib erikan oleh
x (t) = v 0 x t (2.1)
y (t) = v 0 y t − 1
2
g t2 (2.2)
Kec epatan partikel pada arah x tetap, yaitu v x (t) = v 0 x , s edangkan kece patan
partikel pada arah y b erubah sebagai v y (t) = v 0 y − g t. B esar ke cepatan
partikel dib e rikan ole h
v (t) = qv x (t)2 + v y (t)2
Dengan mens ubstitus ikan variab el waktu t pada p e rs . (2.1) ke dalam
p ers. (2.2) dip erole h
y (x ) =
v 0 y
v 0 x
x − g
2v 2
0 x
x 2 (2.3)
Persamaan ini adalah fungs i y yang kuadratis dalam variab el x . Titik tert-inggi lintasan dip eroleh dengan menc ari nilai ekstrim fungsi tersebut, yang
tercapai ketika
d y
dx
=
v 0 y
v 0 x − g
v 2
0 x
x = 0
yaitu pada
x =
v 0 y v 0 x
g
=
2v 2
0 sin 2θ
2g
Posisi terjauh partikel, yaitu p os isi ketika partikel ke mbali memiliki p os isi
y = 0, dapat dip eroleh dengan mencari akar p e rs . (2.3), (dengan memakai
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 23
rumus ab c)
x =
v 0 y v 0 x
g ± 1
2
s 4v 2
0 y v 2
0 x
g 2
terdapat dua nilai, dan dipilih yang tidak nol (kare na x = 0 tidak lain adalah
titik awal gerak partikel yang juga me miliki ko ordinat y = 0), j adi titik
terjauh yang ditempuh adalah pada
x =
2v 0 y v 0 x
g
=
v 0 sin 2θ
g
(2.4)
2.5 Gerak melingkar b eraturan
Gerak melingkar b eraturan adalah gerak dengan lintasan b erb e ntuk lingkaran
dan kela juan konstan. Walau kela j uannya konstan, tetapi vektor kecepatan-nya b e rubah, yaitu b erubah arahnya. Kita tinjau suau partikel b ergerak
melingkar dengan j ejari lintasan lingkarannya r . Lihat gambar di bawah ini
Dari gambar di atas , untuk selang waktu ∆t, partikel yang b e rgerak
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 24
melingkar telah menempuh j arak sejauh
v ∆t = r θ (2.5)
dengan θ adalah sudut dalam satuan radian. Dalam selang waktu tersebut,
karena vektor kecepatan se lalu tegak lurus terhadap jejari lingkaran, arah
vektor kecepatan juga s udah b erubah seb es ar ∆~v (lihat gambar),
Sehingga untuk selang waktu yang cukup ke cil,
∆v = θ v . (2.6)
Dengan mengeliminasi θ dari p ers. (2.5) dan (2.6), dip eroleh
∆v = v 2 ∆t
r
(2.7)
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 25
atau, de ngan membagi kedua ruas dengan ∆t, akan didapatkan p ercepatan
a = lim
∆ t→0
∆v
∆t
=
v 2
r
. (2.8)
Arah p ercepatannya searah de ngan arah p erubahan kecepatan ∆~v , untuk
∆t yang sangat ke cil, akan tegak lurus terhadap arah kece patan ~v mengarah
ke pusat lingkaran. Percepatan ini disebut sebagai p ercepatan sentrip etal,
dengan b esar yang kons tan dan s elalu mengarah ke pusat lingkaran.
Untuk ge rak melingkar dengan ke la juan yang tidak konstan, dapat dianal-isa dengan menuliskan vektor kecepatan sebagai ~v = v ˆu , dengan ˆu adalah
vektor satuan searah de ngan arah ke cepatan, dan menyinggung (tangensial
terhadap) lintasan. De ngan menderivatif kan vektor kecepatan ini, dip erole h
~a =
d v ˆu
dt
= ˆu
dv
dt
+ v
d ˆu
d t
(2.9)
suku p ertama disebut s ebagai suku p e rc epatan tangensial
~at =
dv
dt
ˆu = a t ˆu (2.10)
sedangkan pada s uku ke dua,
d ˆu
d t
= − d θ
dt
ˆr = − v
r
ˆr (2.11)
dengan ˆr adalah vektor satuan arah radial. Maka s uku kedua ini tidak lain
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 26
adalah p erce patan radial atau sentrip etal
~ar = − v 2
r
ˆr (2.12)
2.6 Gerak Re latif
Ketika menganalisa ge rak suatu partikel, kita meninj aunya re latif te rhadap
suatu titik acuan dan sistem ko ordinat tertentu, yang s ecara b e rs ama-sama
disebut sebagai kerangka acuan. Bes aran-b es aran ge rak partikel te rs ebut,
sep erti p osisi, kecepatan dan p ercepatan dapat b ernilai b erb eda bila dili-hat dari kerangka acuan yang b e rb eda. Dalam analisa ini, kita memakai
p ende katan klasik di mana waktu dianggap sama di s emua ke rangka acuan.
Ditinjau misalnya suatu kerangka ac uan A dan kerangka acuan kedua B .
Posisi titik as al B dlihat dari titik asal A , dib e rikan oleh vektor ~R B A (t). Po-sisi se buah partike l C menurut kerangka A dan B sec ara b e rturutan adalah
~r C A (t) dan ~r C B (t). Hubungan antara ~r C A (t) dan ~r C B (t), dib erikan ole h (lihat
gambar)
~r C B (t) = ~r C A (t) − ~R B A (t) = (2.13)
Dari p ersamaan ini, de ngan derivatif te rhadap waktu, dip e roleh hubungan
kecepatan partikel menurut A dan B
d~r C B
dt
=
d~r C A
d t − d ~R B A
dt
(2.14)
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 27
atau
~v C B = ~v C A − ~VB A (2.15)
dengan ~v C B adalah kece patan partikel C dilihat dari kerangka B , ~v C A adalah
kecepatan partikel C dilihat dari kerangka A , dan ~VB A adalah ke cepatan
kerangka B dilihat dari kerangka A .
Dari p ers. (2.15), dengan me nderivatif kannya terhadap waktu, dip eroleh
hubungan p e rc epatan partikel me nurut A dan B
d~v C B
dt
=
d~v C A
dt − d ~VB A
dt
(2.16)
atau
~aC B = ~aC A − ~aB A (2.17)
dengan ~aC B adalah kecepatan partikel C dilihat dari kerangka B , ~aC A adalah
kecepatan partike l C dilihat dari kerangka A , dan ~aB A adalah kece patan
BAB 2. K INEMATIKA GERAK LURUS 28
kerangka B dilihat dari kerangka A .
Kasus khus us adalah bila p erce patan antara ke rangka A dan B adalah
nol, atau kerangka B b ergerak relatif terhadap A dengan kecepatan konstan.
Pada kasus ini, p ercepatan partikel ditinjau dari kedua kerangka b ernilai
sama. Kumpulan kerangka-kerangka acuan se macam ini dis ebut kerangka-kerangka acuan inersial. Mengenai sifat ine rs ial ini, akan dibahas dalam bab
selanjutnya.
Bab 3
Dinamika
Cabang dari ilmu me kanika yang me ninjau gerak partikel dengan menin-jau p enye bab geraknya dikenal se bagai dinamika. Dalam bab ini kita akan
membahas konsep-kons ep yang menghubungkan kondisi gerak b e nda dengan
keadaan-ke adaan luar yang menyebabkan p e rubahan keadaan ge rak b enda.
3.1 Inersia
Bila sebuah b enda b erada dalam keadaan diam, untuk menggerakkannya
dibutuhkan p engaruh luar. Mis alnya untuk menggerakkan sebuah balok yang
diam di atas lantai, kita dapat mendorongnya. Dorongan kita ini adalah p en-garuh luar terhadap balok tadi yang menyebabkan b enda tersebut b ergerak.
Dari p e ngalaman sehari-hari, ketika p engaruh luar, yaitu dorongan kita tadi,
dihilangkan dari balok, maka balok te rs ebut lama-lama akan b erkurang ke-29
BAB 3. DINA MIKA 30
cepatannya dan akhirnya diam. Mungkin kita akan menyimpulkan bahwa
agar sebuah b enda terus b e rgerak kita p erlu memb eri dorongan pada b enda
tadi te rus menerus, dan bila p engaruh luar tersebut hilang, maka b enda akan
kembali diam. Tetapi apakah p engaruh luar pada b enda tadi b enar- b enar
sudah hilang? B agaimana dengan p engaruh lantai terhadap b enda tadi, yang
jelas- jelas menghambat gerak b e nda? Se andainya kita memilih lantai yang
p ermukaannya licin, dan balok kita tadi j uga memiliki p ermukaan yang lic in
maka setelah dorongan kita hilangkan, balok tadi masih akan tetap b ergerak
untuk waktu yang c ukup lama. Bisa kita bayangkan bila tidak ada ham-batan (sup e r licin) dari lantai te rhadap balok, maka balok tadi akan tetap
terus b ergerak dengan kec epatan konstan walaupun dorongan kita sudah di-hilangkan.
Jadi dapat disimpulkan bahwa bila p engaruh luar pada sebuah b enda
b enar-b e nar dihilangkan, maka sebuah b enda akan tetap diam bila pada mu-lanya diam, dan akan te tap b ergerak dengan kece patan konstan, bila pada
mulanya b erge rak dengan kecepatan konstan. K esimpulan ini, yang p er-tama kali disimpulkan oleh G alileo Galilei, dikenal sebagai prinsip inersia
atau kelembaman. Be nda- b enda cenderung untuk memp ertahankan kondisi
geraknya, bila dia diam, akan tetap diam dan bila b ergerak, akan tetap
b ergerak dengan kecepatan konstan, selama tidak ada p e ngaruh luar yang
mengubah kondisi geraknya.
BAB 3. DINA MIKA 31
3.2 Hukum Ne wton
Bagaimana p engaruh luar memp engaruhi p erubahan kondisi gerak suatu
b enda? Hal ini dijawab dengan hukum Ne wton ke-2. Kare na keadaan ‘alami’
suatu b enda adalah dia b e rgerak de ngan ke cepatan terte ntu (diam adalah
‘b ergerak’ dengan ~v = 0), maka logis bila dikatakan p engaruh luar akan
menyebabkan p e rubahan kec epatan ∆~v . Dari sini dapat dis impulkan bahwa
p engaruh luar terse but akan menyebabkan p e rc epatan pada b enda.
Tetapi dari b e rbagai p engamatan ditemukan bahwa untuk menghasilkan
p erubahan kecepatan yang sama, pada b enda yang b erb eda dibutuhkan ‘b e-sar’ p engaruh luar yang b erb eda pula. Se baliknya dengan b esar p e ngaruh
luar yang sama, p erubahan kecepatan pada b enda-b enda te rnyata b erb e da-b eda. Jadi ada suatu kuantitas intrins ik (diri) pada b enda yang menentukan
ukuran seb erapa b esar s ebuah p engaruh luar dapat mengubah kondisi gerak
b enda te rs ebut. Kuantitas ini tampaknya s ebanding dengan jumlah zatnya,
tetapi juga tergantung pada jenis zatnya. Kuantitas intrinsik pada b e nda-b enda ini kemudian disebut sebagai massa ine rs ia, disimbulkan dengan m .
Massa inersia (atau se ring juga disebut sa j a sebagai massa) me mb erikan
ukuran dera jat kelembaman atau dera jat inersia sebuah b enda. Satuan dari
massa adalah kilogram, dalam s atuan SI. Makin b es ar mass anya makin s ulit
untuk me nghasilkan p erubahan kondisi gerak pada b e nda terse but. Pe ngaruh
luar yang me nyebabkan b erubahnya ke adaan gerak suatu b e nda kemudian
disebut sebagai gaya (force ) dan disimb olkan de ngan ~F . Satuan dari gaya
BAB 3. DINA MIKA 32
adalah newton (N).
Dari p embahasan di atas dapat dis impulkan bahwa ‘kuantitas gerak’ su-atu b e nda tergantung pada massa inersia dan ke cepatan b enda. Untuk itu
dideﬁnisikan suatu b esaran ve ktor yang disebut sebagai momentum ~p ≡ mv ,
sebagai kuantitas gerak suatu b enda. Gaya kemudian dideﬁnis ikan (diukur)
sebagai la ju p erubahan momentum
~F =
d ~p
dt
(3.1)
Inilah yang kemudian dikenal sebagai hukum Newton kedua tentang gerak
b enda. Yaitu p e ngaruh luar (gaya) yang b ekerja pada sebuah b enda se band-ing dengan la ju p erubahan kuantitas ge rak (momentum) terhadap waktu.
Sedangkan hukum Newton p e rtama adalah kasus khusus ketika tidak ada
p engaruh luar pada sebuah b enda, atau ketika gayanya s ama dengan nol,
yang tidak lain adalah p erumusan ulang dari prins ip inersia. Yaitu bila total
gaya yang b ekerja pada se buah b enda adalah nol, maka b enda tersebut akan
tetap diam bila awalnya diam atau akan tetap b ergerak dengan kece patan
konstan bila awalnya b ergerak.
Untuk kasus di mana massa b enda tetap konstan, maka
~F = m
d~v
dt
= m~a. (3.2)
Hukum Newton ke tiga memb erikan informasi tentang s ifat gaya. Gaya
yang b ekerja pada sebuah b enda b erasal dari b enda lain yang ada di lingkun-
BAB 3. DINA MIKA 33
gannya. Dari fakta serta eksp erimen diketahui bahwa ketika sebuah b enda
memb eri gaya pada b e nda ke dua, banda kedua juga akan memb eri gaya pada
b enda p ertama tadi. Walaupun secara prinsip, sifat gaya- gaya tadi tidak da-pat dipastikan kec uali le wat eksp erimen, tetapi kita dapat memahaminya
melalui p engandaian b erikut ini. Ditinjau s uatu sistem yang terdiri dari
dua partikel. B ila tidak ada gaya dari luar sis te m yang memp e ngaruhinya,
sistem tadi sebagai satu ke satuan, tampak tidak mengalami p e ngaruh luar,
sehingga seharus nya sis tem tersebut akan tetap diam atau b ergerak dengan
kecepatan kons tan, ses uai hukum newton ke dua. Kita dapat memilih suatu
kerangka acuan di mana s istem dalam keadaan diam. Sekarang seandainya
antara b e nda p ertama dan b e nda kedua dalam sis tem saling memb eri gaya
pada yang lain, maka semua total gaya seharusnya nol, karena sistem tidak
b erubah keadaan geraknya. Jadi gaya yang dib e rikan b enda p e rtama pada
b enda kedua ~F21 ditambah dengan gaya yang dib erikan b enda kedua pada
b enda p ertama ~F12 harus sama dengan nol, yang b erarti
~F21 = − ~F12
Pasangan gaya se macam di atas sering disebut s ebagai pas angan gaya
aks i-reaks i, dan p ersamaan di atas dis ebut se bagai hukum new ton ke tiga
atau hukum aksi- reaksi. Kata aks i-reaks i di sini tidak mengandung arti su-atu proses sebab akibat, kare na kedua pas angan aksi- re aksi terse but munc ul
BAB 3. DINA MIKA 34
sec ara b e rs amaan. Bila salah satu gaya dis ebut se bagai aksi, maka pas an-gannya adalah reaksi, demikian juga s ebaliknya. Juga p erlu dip erhatikan
bahwa pasangan aksi-reaksi s elalu b ekerja pada dua b enda yang b erb eda,
bukan pada satu b enda yang s ama.
3.3 Be b erapa Jenis G aya
Hukum ne wton hanya memb erikan p erumus an tentang bagaimana gaya mem-p engaruhi ke adaan ge rak s uatu b enda, yaitu melalui p erubahan momen-tumnya. Sedangkan bagaimana p erumusan gaya dinyatakan dalam variab el-variab el keadaan b enda, harus dicari me lalui p engamatan te rhadap b e nda-b enda p enyebab gaya. Beb erapa kas us sederhana p erumusan tersebut akan
diuraikan di bawah ini.
Gaya b er at. Untuk semua b enda yang dekat p ermukaan bumi, p e r-cepatan gravitas i yang dialami b e nda dianggap sama, s ehingga b erat b enda
BAB 3. DINA MIKA 35
sebanding dengan massanya. Gaya b erat pada sebuah b enda yang dekat
dengan p ermukaan bumi dib erikan oleh
W = mg (3.3)
dengan g adalah p erce patan gravitasi bumi, yang nilainya pada p ermukaan
bumi s ekitar 9, 8 m/s2 . Untuk b enda jauh dari p ermukaan bumi, harus digu-nakan p e rumusan p ercepatan gravitas i yang dip erole h dari hukum gravitasi
universal. Hal ini akan dibahas dalam bab tersendiri.
Gaya p e gas. Sebuah p egas ideal bila diregangkan atau ditekan akan
memb erikan gaya yang sebanding de ngan b esar p erubahan panjang p egas.
Jadi gaya yang dib erikan oleh p e gas adalah
~F = −k ∆~x (3.4)
∆~x adalah vektor b esar p erubahan panjang p egas dan tanda negatif pada
p ersamaan di atas menunjukkan arah gayanya yang b erlawanan dengan arah
p erubahan panj ang p e gas. Konstanta kesebandingan k disebut juga sebagai
konstanta p egas. Kebanyakan p egas real akan mengikuti p ers. (3.4) untuk
nilai ∆~x yang cukup kecil.
Gaya normal/Gaya kontak. Antara dua p ermukaan b enda yang s aling
b erse ntuhan akan ada gaya dari p ermukaan b enda yang satu ke p ermukaan
b enda yang kedua, dan se baliknya. Arah gaya normal ini tegak lurus ter-hadap p ermukaan dan memb entuk pasangan aksi- re aksi. Selain dari itu tidak
BAB 3. DINA MIKA 36
ada informasi lain me ngenai b esar gaya normal. Te tapi b esar gaya normal
dapat diketahui dari p e rs amaan- p ersamaan hukum Newton, bila b esar gaya-gaya yang lain diketahui.
Gaya gesekan . Antara dua p ermukaan b enda yang b ersentuhan akan
ada gaya yang me ngarah tange nsial terhadap p ermukaan sentuh. G aya ini
merupakan pasangan dari gaya normal/gaya kontak dan secara b ersama
BAB 3. DINA MIKA 37
mendes kripsikan total gaya yang b ekerja antara dua b enda yang b ersentuhan.
Gaya tangensial ini le bih sering dikenal s ebagai gaya gese kan, karena s ifat-nya yang menghambat gerak dari b enda yang b erse ntuhan. Dip ostulatkan
bahwa gaya gesekan ini sebading dengan gaya normal, karena bila gaya nor-mal tidak ada b erarti tidak terjadi p ersentuhan dan tidak akan ada gese kan.
Ko eﬁsie n kes ebandingannya dis ebut s ebagai ko eﬁsie n gese kan. Ketika se-buah b enda dalam keadaan diam di atas s uatu p ermukaan te rnyata dibu-tuhkan gaya yang lebih b e sar pada awalnya untuk memulai gerakan. Hal ini
karena antara atom-atom ataupun molekul kedua p ermukaan telah terb en-tuk ikatan- ikatan antara molekul maupun atom. Sehingga dibutuhkan le bih
banyak gaya untuk memutus ikatan te rs ebut. K arena itu ada dua jenis ko e-ﬁsien ge sekan, ko eﬁs ien gesekan statis µ s , yang terkait dengan b enda yang
diam dan ko eﬁsien gesekan kinetik µ k , untuk b e nda yang b e rgerak. G aya
gesekan kinetik fk selalu b e rlawanan arah dengan arah gerak b enda, dan
b es arnya dirumuskan s ebagai
fk = µ k N . (3.5)
Sedangkan ges ekan statik selalu b erlawanan arah dengan arah gaya yang
b erusaha menggerakkan b enda, dan b e sarnya dirumuskan sebagai
fs = µ s N . (3.6)
Bab 4
Dinamika 2 - Usaha dan Tenaga
Disamping p erumus an hukum ne wton, terdapat konsep lain yang dapat digu-nakan untuk mengetahui keadaan gerak suatu b e nda. Sep erti halnya hukum
newton, konsep ini menghubungkan p engaruh luar (gaya) dengan keadaan
gerak b enda. Konsep ini adalah konsep usaha- tenaga. Bedanya dengan kon-sep hukum newton, usaha dan tenaga adalah b esaran skalar. K arena itu,
untuk b eb e rapa kasus , kons ep us aha-tenaga dapat lebih mudah digunakan
untuk menge tahui keadaan gerak s uatu b enda akibat p engaruh luar (gaya).
4.1 Usaha
Perlu dip erhatikan, kita tidak b oleh mengasos iasikan p emahaman kata ‘us-aha’ dalam bahasa sehari- hari de ngan istilah usaha dalam ﬁs ika, walaupun
ada kemiripannya. Sebagai istilah ﬁsika usaha yang dilakukan suatu gaya
38
BAB 4. DINA MIKA 2 - USAHA DA N TENAGA 39
dideﬁnisikan sebagai hasil kali skalar vektor gaya dan vektor p e rpindahan
b enda, atau hasil kali komp onen gaya yang searah de ngan p erpindahan b enda
dengan b es ar p erpindahan b enda. Perlu dip erhatikan bahwa p e rpindahan
b endanya tidak harus disebabkan oleh gaya tadi. Usaha dilambangkan den-gan W (work ) dan untuk gaya yang konstan dirumuskan sebagai
W = ~F · ~s = F s cos θ (4.1)
dengan θ adalah sudut antara vektor gaya dan vektor p erpindahan b enda
~s. B ila gayanya tidak konstan, maka harus dijumlahkan untuk setiap bagian
p erpindahannya dengan gaya yang konstan,
W = X
i
~Fi · ∆~si (4.2)
Bila p erubahannya kontinyu, maka p e rumusan di atas b erubah me nj adi in-tegral
W = Z b
a
~F · d~s (4.3)
untuk p erpindahan dari titik a ke titik b , me laluis suatu lintasan.
4.2 Te orema Usaha-Energi
Sekarang kita tinjau total usaha, yaitu us aha yang dilakukan ole h semua gaya
yang b ekerja pada b enda, dan kita jumlahkan menurut komp onen-komp onen
BAB 4. DINA MIKA 2 - USAHA DA N TENAGA 40
pro duk skalarnya
W to t = R b
a
~F · d~s (4.4)
= R b
a (Fx d x + Fy d y + Fz dz ). (4.5)
Untuk memudahkan analis a, kita tinjau komp onen x sa ja, karena analisa
untuk komp onen lainnya se rupa. Dike tahui bahwa
Fx = m
dv x
dt
= m
dv x
dx
d x
dt
= mv x
dv x
dx
(4.6)
sehingga kita dapat me nulis kan p ers. (4.4) sebagai
W tot = R b
a m (v x dv x + v y dv y + v z dv z ) (4.7)
= 1
2 m (v 2
x + v 2
y + v 2
z ) b
a
= 1
2 m (v 2
b − v 2
a ). (4.8)
Jadi nilai total usaha b ergantung pada suatu kuantitas akhir dan awal, yaitu
selis ih b esar kuadrat kece patan akhir dan awal dikali setengah massa. K uan-titas ini kemudian dib eri nama energi, dan karena kuantitas ini b ernilai
tidak nol ketika kecepatannya tidak nol, maka dib e ri nama e ne rgi kinetik
Ek ≡ 1
2 mv 2 . Jadi total usaha yang b ekerja pada suatu b enda sama dengan
p erubahan energi kinetik
W to t = ∆ Ek = Ek (f ) − Ek (i ). (4.9)
BAB 4. DINA MIKA 2 - USAHA DA N TENAGA 41
Pernyataan di atas dikenal sebagai teorema usaha- energi.
4.3 Gaya Konservatif dan Energi Pote nsial
Gaya kons ervatif ~F adalah gaya yang memenuhi sifat: Us aha yang dilakukan
oleh gaya konservatif hanya b ergantung pada p osis i awal dan akhir b enda,
dan tidak b ergantung pada lintasan p erpindahan b e nda. Karena itu pula
untuk lintas an yang b erb entuk melingkar (kembali ke p osisi awal) nilai usaha
yang dilakukan ole h gaya konservatif se lalu nol. Lihat gambar,
Jadi untuk gaya konservatif ke dua lintasan I dan I I menghasilkan nilai
usaha yang sama
W k = Z b
a I
~Fk · d~s = Z b
a I I
~Fk · d~s (4.10)
demikian pula I ~Fk · d~s = 0 (4.11)
BAB 4. DINA MIKA 2 - USAHA DA N TENAGA 42
Karena hanya b ergantung pada p os isi akhir dan awal sa ja, maka kita
dapat mendeﬁnisikan s uatu kuantitas e nergi, yang nilainya tergantung pada
p osisi. Serta dipilih nilai p erubahan energi ini sama dengan negatif dari usaha
yang dilakukan gaya kons ervatif, sehingga energi ini menggambarkan p otensi
‘p osisi’ b enda untuk melakukan usaha, dan kuantitas energi ini disebut energi
p otensial, dilambangkan U . Jadi
W k = Z b
a
~Fk · d~s = −∆U = −(U (b ) − U (a )) (4.12)
Perhatikan bahwa karena yang memiliki arti ﬁsis, yaitu yang terkait den-gan us aha, hanya selisih energi p otens ial, maka kita dapat b ebas memilih di
titk/p osisi mana nilai energi p otensial ini s ama dengan nol.
Sebagai contoh gaya kons ervatif adalah gaya p egas. Usaha yang dilakukan
p egas pada b enda ketika diregangkan dari panjang x 0 ke panjang x , ∆x =
x − x 0 adalah
W k = Z x
x 0
(−k x )dx = − 1
2
k (x 2 − x 2
0 ) (4.13)
Bila titik x 0 , dipilih se bagai titik ref erensi di mana e nergi p otensialnya dipilih
sama dengan nol, maka
U (x ) =
1
2
k x 2 (4.14)
Contoh gaya konse rvatif lainnya adalah gaya gravitasi bumi (gaya b erat).
Usaha yang dilakukan gravitas i pada b enda ke tika dipindah dari ketinggian
BAB 4. DINA MIKA 2 - USAHA DA N TENAGA 43
h0 ke ketinggian h, ∆ h = h − h0 adalah
W k = Z h
h 0
(−mg )dx = −mg (h − h0 ) (4.15)
Bila titik h0 , dipilih sebagai titik referens i (biasanya p ermukaan bumi) di
mana energi p otens ialnya dipilih sama dengan nol, maka
U (x ) = mg h (4.16)
Contoh gaya yang tak konservatif adalah gaya ges ek. Usaha yang dilakukan
gaya ges ek tentu sa ja b e rgantung pada lintasan yang dilalui b enda.
Total usaha yang b ekerja pada sebuah b enda dapat b erupa usaha oleh
gaya kons ervatif W k dan us aha ole h gaya nonkons ervatif W nk . Dari p ers.
(4.9) dan (4.12), kita dapatkan
W to t = W k + W nk = ∆ Ek (4.17)
atau
−∆U + W nk = ∆ Ek (4.18)
Be saran e nergi p otens ial ditambah energi kinetik dis ebut se bagai energi mekanik
Em = U + Ek , s ehingga kita dapatkan
∆E m = ∆( U + Ek ) = W nk (4.19)
BAB 4. DINA MIKA 2 - USAHA DA N TENAGA 44
Perubahan energi mekanik pada suatu b enda sama dengan usaha yang di-lakukan oleh gaya nonkonservatif pada b enda tersebut. Untuk kasus di mana
hanya ada gaya konservatif yang b eke rj a pada s uatu b enda, maka p e rubahan
energi mekanik b enda sama de ngan nol, dan energi mekaniknya tetap.
Bab 5
Sistem Partikel
Dalam p embahasan-p embahas an seb e lumnya kita hanya meninjau sebuah
partikel atau sebuah b enda yang dip erlakukan s ebagai partikel titik. Dalam
bab ini kita akan meninjau kasus yang lebih umum, dengan s istem ataupun
b enda yang terdiri dari banyak partike l (titik partikel) maupun b e nda yang
terdiri dari partikel-partikel yang dianggap te rs ebar s ecara kontinyu pada
b enda.
5.1 Pusat Massa
Posisi pusat mas sa sebuah sistem banyak partikel dideﬁnisikan sebagai b erikut
~r pm = Pi m i ~r i
M
(5.1)
45
BAB 5. SI STEM PARTI KEL 46
dengan ~r i adalah p osisi partike l ke- i di dalam sistem, dan
M = X
i
m i (5.2)
Lihat gambar di atas. Dengan mengganti ~r i = ~r pm + ~r 0
i , di mana ~r 0
i adalah
p osisi partike l ke - i relatif terhadap pusat massa, maka p ers. (5.1) menjadi
~r pm = Pi m i (~r pm + ~r 0
i )
M
= ~r pm + Pi m i ~r 0
i )
M
(5.3)
sehingga dapat disimpulkan bahwa
X
i
m i ~r 0
i = 0 (5.4)
Bila b endanya b ersif at kontinyu, maka jumlahan di p e rs . (5.1) menjadi
integral
~r pm =
1
M X ~r dm (5.5)
BAB 5. SI STEM PARTI KEL 47
dengan dm adalah ele me n massa pada p os isi ~r .
5.2 Gerak Pusat Massa
Gerak pusat massa dapat dip eroleh melalui deﬁnisi pusat mass a di p ers.
(5.1). Kec epatan pusat massa dip eroleh dari derivatif p e rs . (5.1)
~v pm = Pi m i ~v i
M
(5.6)
Dari p ersamaan ini, s etelah dikalikan dengan M , dip eroleh
M ~v pm = X
i
m i ~v i = X
i
~p i (5.7)
Be saran M ~v pm yang dapat kita anggap sebagai momentum pusat mass a,
tidak lain adalah total momentum sistem (jumlahan seluruh momentum par-tike l dalam s istem).
BAB 5. SI STEM PARTI KEL 48
Dengan menderivatif kan p ers. (5.7) te rhadap waktu, dip eroleh
M ~apm = X
i
d ~p i
dt
= X
i
~Fi (5.8)
dengan ~Fi adalah total gaya yang b eke rj a pada partikel ke- i . Pe rs amaan di
atas me nunjukkan bahwa gerak pus at massa ditentukan oleh total gaya yang
b ekerja pada sistem.
Gaya yang b ekerja pada sistem dapat dikelomp okkan menjadi dua je nis,
gaya internal yaitu gaya antar partike l di dalam sistem, dan gaya eksternal
yaitu gaya yang b e rasal dari luar sistem. Untuk gaya internal, antara sem-barang dua partike l dalam s istem, i dan j misalnya, akan ada gaya pada i
oleh j dan sebaliknya (karena aksi- reaksi), tetapi
~Fij + ~Fj i = ~Fij − ~Fij = 0
Sehingga jumlah total gaya internal pada sis te m akan lenyap, dan
M ~apm = X
i
~Fieks = ~Feks (5.9)
Jadi gerak pusat massa sistem hanya ditentukan oleh total gaya eksternal
yang b e kerja pada sisem.
Ketika tidak ada gaya eksternal yang b e kerja pada suatu sistem, maka
d
dt X
i
~p i = 0 (5.10)
BAB 5. SI STEM PARTI KEL 49
Atau b erarti total momentum seluruh partike l dalam s istem, kons tan,
X
i
~p i = k onstan. (5.11)
5.3 Tumbukan
Dalam prose s tumbukan antara dua b enda, gaya yang terlibat, ketika kedua
b enda dilihat sebagai s atu kesatuan, hanya gaya internal. Sehingga pada
semua proses tumbukan, s elama tidak ada gaya eksternal, total momentum
sistem konstan. Untuk memudahkan kita cukup meninjau tumbukan dalam
satu dimensi. Untuk kasus dua dan tiga dime nsi, karena sifat ve ktorial dari
momentum, hasilnya dapat dip erole h sebagai jumlahan ve ktor kasus satu
dimensi
Ditinjau tumbukan antara partikel 1 dan 2, dengan massa m 1 dan m 2 ,
dan b e sar ke cepatan awal v 1 dan v 2 . Walau kita sudah menge tahui dari p em-bahasan bagian seb elumnya bahwa momentum total sis te m kekal, tetapi di
sini kita akan menjabarkannya lagi dengan me ninj au gaya tumbukannya se-cara langsung. Ketika tumbukan terjadi, partikel 1 memb eri gaya ke partikel
2 seb es ar ~F21 , dan partikel 2 me mb e ri gaya ke partikel 1 seb es ar ~F12 . Dari
hukum Newton kedua,
~F12 =
d ~p 1
dt
(5.12)
sehingga
∆ ~p 1 = Z ~F12 dt (5.13)
BAB 5. SI STEM PARTI KEL 50
Be saran integral di ruas kiri p ersamaan di atas juga dis ebut sebagai impuls
yang dib erikan oleh gaya ~F12 . Untuk partikel kedua b erlaku
∆ ~p 2 = Z ~F21 dt = − Z ~F12 dt (5.14)
sehingga bila p ers. (5.13) dan (5.14) dij umlah, didapatkan
∆ ~p 1 + ∆ ~p 0 = ∆( ~p 1 + ~p 2 ) = 0 (5.15)
atau b erarti
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 0
1 + m 1 v 0
2 (5.16)
Dapat disus un ulang s ebagai
m 1 (v 1 − v 0
1 ) = m 2 (v 0
2 − v 2 ) (5.17)
Kita akan meninjau terlebih dulu kas us ekstrim, yaitu tumbukan elastik,
di mana tidak ada ene rgi s istem yang hilang (sebagai panas maupun bunyi),
dan tumbukan total tak elas tik, di mana kedua partikel atau b enda menemp el
dan b ergerak b ersama-s ama.
BAB 5. SI STEM PARTI KEL 51
5.3.1 Tumbu kan elastik
Dalam tumbukan elastik, energi sistem seb elum dan sesudah tumbukan,
tetap sama
1
2
m 1 v 2
1 +
1
2
m 1 v 2 =
1
2
m 1 v 2 0
1 +
1
2
m 1 v 2 0
2 (5.18)
Persamaan di atas dapat disederhanakan s ebagai
m 1 (v 2
1 − v 2 0
1 ) = m 2 (v 2 0
2 − v 2 ) (5.19)
Dengan membagi p ersamaan ini, dengan p ers. (5.17), dip eroleh
(v 1 + v 0
1 ) = (v 0
2 + v 2 ) (5.20)
atau
e = − v 0
2 − v 0
1
v 2 − v 1
= 1 (5.21)
Ko eﬁsie n e disebut ko eﬁsien resistusi, dan untuk kas us tumbukan elastik nilai
e = 1.
5.3.2 Tumbu kan tak elastik
Tumbukan tak elas tik adalah tumbukan yang mana s etelah tumbukan kedua
b enda menyatu dan b ergerak dengan ke cepatan sama, sehingga v 0
1 = v 0
2 .
Ini b erarti pada tumbukan total tak elas tik, nilai e = 0. U ntuk sembarang
tumbukan tak elastik, nilai e adalah antara kedua kasus tadi, yaitu 0 ≤ e ≤ 1.
BAB 5. SI STEM PARTI KEL 52
Untuk kasus tumbukan umum, dengan ko eﬁsien re stitus i e
e = − v 0
2 − v 0
1
v 2 − v 1
(5.22)
atau
v 0
2 − v 0
1 = e(v 1 − v 2 ) (5.23)
Dengan memakai p ers. (5.23) dan (5.17), dip eroleh
v 0
1 = ( m1 − em2 ) v 1 +( 1+ e) m2 v 2
m1 + m2 (5.24)
v 0
2 = ( m2 − em1 ) v 2 +( 1+ e) m1 v 1
m1 + m2 (5.25)
Kasus- kasus khusus, misalnya tumbukan antara dua b enda dengan s alah
satunya memiliki massa yang sangat b esar. Dari p ers. (5.24) b enda yang
b ermassa b es ar praktis tidak b erubah keadaan geraknya, sedangkan b enda
yang b e rmassa kecil akan b erbalik arah.
Bab 6
Rotasi Benda Tegar
Be nda tegar adalah sistem partikel yang mana p osisi relatif partikel-partikelnya,
satu dengan yang lainnya di dalam sistem, (dianggap) tetap. Akibatnya
ketika b enda ini b erotasi terhadap suatu sumbu tetap, maka jarak setiap
partikel dalam sistem terhadap sumbu rotas i akan se lalu te tap. Di sini kita
hanya akan meninjau gerak rotasi de ngan sumbu putar yang tetap orien-tas inya.
6.1 Kinematika Rotasi
Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan lingkaran de ngan je jari r .
Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu ∆t adalah s terkait den-gan sudut θ (dalam radian). Hubungan s dan θ dib erikan oleh s = r θ . Untuk
53
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 54
selang waktu yang sangat ke cil maka b es ar kece patan linier dib e rikan oleh
d s
dt
= r
dθ
dt
(6.1)
b es aran ω ≡ d θ
d t ≡ disebut s ebagai kec epatan sudut, yang arahnya dib e rikan
oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi hubungan
antara kece patan linier dengan kecepatan s udut dib erikan oleh
~v = ~ω × ~r . (6.2)
Percepatan sudut α dideﬁnisikan sebagai la ju p erubahan kec epatan sudut
terhadap waktu,
α ≡ dω
d t
(6.3)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 55
Hubungan antara p erce patan linier dan p e rce patan sudut dib erikan ole h
dv
dt
= r
d ω
dt
= r α (6.4)
dengan arah α dib erikan oleh arah p erubahan ω , atau secara vektor
~a = ~α × r. (6.5)
Karena p ersamaan-p e rs amaan kinematika yang menghubungkan θ , ω dan
α b entuknya sama dengan p ersamaan-p ersamaan kinematika gerak linear,
maka dengan me makai analogi ini akan dip eroleh kaitan sebagai b e rikut un-tuk keceptan sudut kons tan
θ (t) = θ 0 + ω t (6.6)
dan kaitan- kaitan b erikut untuk p e rc epatan sudut konstan
θ (t) = θ 0 + ω0 t + 1
2 α t2 (6.7)
ω (t) = ω0 + α t (6.8)
ω (t)2 = ω 2
0 + 2α θ . (6.9)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 56
6.2 Dinamika R otasi
6.2.1 Torka dan momentum sudut
Untuk memudahkan p enyelidikan dan analisa terhadap gerak rotasi, dideﬁn-isikan b eb erapa b esaran se bagai analog konse p gaya dan momentum. Per-tama dideﬁnisikan konsep momentum s udut l . Momentum s udut suatu par-tike l yang memiliki momentum linear ~p dan b e rada pada p osisi ~r dari suatu
titik referensi O adalah
~l = ~r × ~p (6.10)
Perlu dip erhatikan bahwa nilai l b ergantung pada p e milihan titik refe rens i
O , nilainya dapat b erubah bila digunakan titik referensi yang b erb eda.
La ju p erubahan momentum s udut terhadap waktu dideﬁnis ikan sebagai
b es aran torka ~τ
d~l
dt
=
d
d t
(~r × ~p ) =
d~r
dt × ~p + ~r × d ~p
d t
(6.11)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 57
karena b entuk
d~r
dt × ~p = ~v × m~v = 0 (6.12)
maka
~τ = ~r × ~F =
d~l
d t
. (6.13)
6.3 Siste m partikel
Untuk s uatu sistem banyak partike l total momentum s udutnya dib erikan
oleh
~L = X
i
~li (6.14)
dengan ~li adalah momentum sudut partikel ke- i . Total torka yang b ekerja
pada sistem ini
~τ tot = X
i
d~li
d t
= X
i
τ i (6.15)
Torka yang b e kerja pada sistem dapat dikelomp okkan menjadi dua jenis,
torka internal yang b ekerja pada partikel ole h partikel lain dalam sis te m,
dan torka eksternal yang b erasal dari gaya eksternal. Karena prinsip aksi-reaks i, dan bila garis kerja gaya aksi- reaksi tersebut se garis maka total torka
antara dua partikel i dan j
τ ij + τ j i = ~r i × ~Fij + ~r j × ~Fj i = (~r i − ~r j ) × Fij = 0. (6.16)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 58
Sehingga total torka yang b ekerja pada sis te m partikel hanyalah torka ekster-nal, dan p erubahan momentum s udut total s istem hanya b ergantung pada
torka eksternal
d ~L
dt
= ~τ ekst tot (6.17)
Ketika tidak ada torka eksternal maka momentum sudut total sis te m akan
konstan.
6.4 Energi Kine tik Rotasi
Kita tinjau suatu sistem partikel yang b erotas i terhadap suatu sumbu tetap.
Jarak setiap partikel terhadapa sumbu rotasi selalu tetap. B ila s istem par-tike l ini adalah b enda tegar maka kes emua partikel akan b ergerak b ersama-sama dengan kec epatan sudut yang sama. Energi kinetik sistem partikel
tersebut adalah
Ek =
1
2 X
i
m i v 2
i = 1
2 X
i
m i r 2
i ω 2 (6.18)
dengan r i adalah jarak partikel ke i tegak lurus terhadap s umbu rotasi. B e-saran yang ada dalam tanda kurung dideﬁnis ikan s ebagai momen inersia I
dari sistem re latif terhadap sumbu rotasi
I = X
i
m i r 2
i (6.19)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 59
Bila b endanya kontinum, maka p erumus an momen inersianya menjadi
I = Z r 2
⊥ dm (6.20)
dengan r ⊥ adalah jarak tegak lurus eleme n massa dm ke sumbu putar.
6.4.1 Te or ema sumbu seja jar
Tinjau s ebuah b enda sep erti tampak pada gambar di bawah ini
Gambar 6.1: Gambar untuk teorema s umbu seja jar
dengan titik pm adalah titik pus at mas sanya. Momen inersia b enda te r-hadap sumbu di titik P dan momen ine rs ia terhadap s umbu yang s eja jar
tetapi melalui titik pusat mass anya terkait s ebagai b erikut
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 60
IP = Z r 2
⊥ dm = Z ~r ⊥ · ~r ⊥ dm (6.21)
tetapi ~r ⊥ = ~r pm + ~r 0 dan
~r ⊥ · ~r ⊥ = (~r pm + ~r 0 ) · (~r pm + ~r 0 ) = r 2
pm + r 0 2 + 2~r pm · ~r 0
sehingga
IP = Z (r 2
pm + r 0 2 + 2~r pm · ~r 0 )dm (6.22)
suku p ertama tidak lain adalah M r 2
pm (M adalah massa total b enda), s uku
kedua adalah momen ine rs ia terhadap pusat massa, se dangkan suku ke tiga
lenyap (karena tidak lain adalah p osisi pusat mass a ditinjau dari pusat
massa). Sehingga
IP = Ipm + M r 2
pm (6.23)
6.4.2 Te or ema sumbu tegak lurus
Tinjau b e nda pada gambar di bawah ini
Kita ketahui bahwa
Iz = Z r 2
⊥ dm = Z (x 2 + y 2 )dm = Iy + Ix (6.24)
Jadi momen inersia terhadap suatu sumbu s ama de ngan j umlah momen in-ersia terhadap dua s umbu yang saling te gak terhadapnya
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 61
Gambar 6.2: Gambar untuk teorema s umbu te gak lurus
6.5 Usaha
Deﬁnisi usaha untuk gerak rotasi s ama dengan deﬁnisi usaha pada gerak
linear. Sebuah partikel dib eri gaya ~F . Partike l itu b ergerak melingkar dengan
lintasan yang b erjejari r , me nempuh lintasan s epanj ang d~s. Usaha yang
dilakukan gaya ~F tadi adalah
dW = ~F · d~s (6.25)
Tetapi kita dapat me nulis kan d~s = d ~θ × ~r , s ehingga
dW = ~F · d ~θ × ~r = ~r × ~F · d ~θ = ~τ · d ~θ (6.26)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 62
Tetapi usaha yang dilakukan s ama dengan p erubahan energi kinetik s ehingga
~τ · d ~θ = d(
1
2
I ω 2 ) = I ω dω (6.27)
dengan dω = α d t dan dθ = ω dt maka
~τ · ~ω d t = I ~ω · ~α dt (6.28)
Maka kita p erole h kaitan
~τ = I ~α (6.29)
analog dengan hukum Ne wton kedua.
6.6 Gabungan G erak Translasi dan R otasi
Tinjau sebuah b e nda dengan p osisi pusat massa ~r pm yang b ergerak dengan
kecepatan ~v pm . Misalkan b e nda ini selain b ertranslasi, juga b e rotas i. K e-cepatan suatu bagian dari b enda tadi dapat dituliskan sebagai ~v = ~v pm + ~v 0 ,
dengan ~v 0 adalah kecepatan relatif terhadap pusat massa. Se hingga energi
kinetik b enda tadi
Ek =
1
2
Z v 2 d m =
1
2
Z (~v pm + ~v 0 ) · (~v pm + ~v 0 )dm (6.30)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 63
atau dapat ditulis kan
1
2
Z (v 2
pm + ~v 0 2 + 2~v pm · ~v 0 )dm (6.31)
suku te rakhir lenyap (karena merupakan kecepatan pusat mas sa dilihat dari
kerangka pusat massa). Sehingga
Ek =
1
2
M v 2
pm + E 0
k pm (6.32)
dengan E 0
k pm adalah energi kinetik b enda karena gerak relatifnya te rhadap
pusat mass a. Bila b endanya b enda te gar, maka suku terakhir ini adalah
energi kinetik rotasi terhadap pusat mass a
Ek =
1
2
M v 2
pm +
1
2
Ipm ω 2 (6.33)
6.7 Ke se timbangan Be nda Tegar
Sebuah b enda tegar b erada dalam keadaan se imbang me kanis bila, relatif
terhadap s uatu kerangka acuan inersial
1. Percepatan linier pusat massanya nol.
2. Percepatan sudutnya me ngelilingi sembarang sumbu tetap dalam kerangka
acuan ini juga nol.
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 64
Persyaratan di atas tidak mengharuskan b enda tersebut dalam keadaan diam,
karena p e rs yaratan p ertama memb olehkan b enda b ergerak de ngan kece patan
pusat mas sanya konstan, sedangkan p ersyaratan kedua me mb olehkan b enda
b erotasi dengan kece patan s udut rotasi yang konstan juga. Bila b enda b enar-b enar diam (relatif te rhadap suatu ke rangka ac uan), yaitu ketika kece patan
linier pusat massanya dan ke cepatan sudut rotasinya terhadap sembarang
sumbu tetap, b e rnilai nol keduanya, maka b enda te gar terse but dikatakan
b erada dalam kese imbangan statik. Bila suatu b enda tegar b erada dalam
keadaan se imbang statik, maka kedua p e rs yaratan di atas untuk kes eimban-gan mekanik akan menjamin b enda tetap dalam keadaan s eimbang statik.
Persyaratan p ertama ekuivalen dengan p ersyaratan bahwa total gaya e k-sternal yang b ekerja pada b enda tegar s ama dengan nol
~Feks = 0. (6.34)
Sedangkan p ersyaratan kedua ekuivalen dengan p ersyaratan bahwa total
torka eksternal yang b ekerja pada b e nda tegar sama dengan nol
~τ eks = 0. (6.35)
6.8 Jenis-Je nis Keseimbangan
Dalam kasus ini yang akan ditinjau hanyalah keseimbangan b e nda tegar di
dalam p engaruh gaya eks ternal yang konservatif. Karena gayanya adalah
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 65
gaya konservatif, maka terdapat hubungan antara gaya yang b ekerja dengan
energi p otensialnya, misalnya untuk satu arah-x
Fx = − ∂ U
∂ x
(6.36)
Keadaan seimbang terjadi ketika nilai Fx = 0, kondisi ini tidak lain adalah
syarat titik ekstrem untuk fungsi energi p ote ns ial U (x ). Andaikan sa ja titik
seimbang ini kita pilih sebagai p os isi x = 0. Fungs i energi p otensial dapat
diekspansikan (se bagai deret pangkat dalam x ) di sekitar titik ini
U (x ) = U0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . (6.37)
Karena
Fx = − ∂ U
∂ x |x =0 = 0 (6.38)
maka a 1 = 0. G aya yang b ekerja pada b enda ketika digeser dari titik kes e-imbangannya, tergantung pada nilai a 2 ,
Fx = −2a 2 x − 3a 3 x 2 + . . . (6.39)
Untuk nilai x disekitar x = 0, Fx dapat dide kati hanya dengan suku p erta-manya, sehingga
Fx ≈ −2a 2 x (6.40)
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 66
Bila a 2 > 0 maka p ergeseran kecil dari titik se imbang, memunculkan gaya
yang mengarahkan kembali ke titik seimbang. Ke seimbangan ini dis ebut
keseimbangan s tabil. Bila a 2 > 0 maka p erges eran sedikit dari titik seimbang,
memunculkan gaya yang menjauhkan dari titik seimbangnya. Ke seimbangan
ini disebut kese imbangan labil. Bila a 2 = 0 maka p ergeseran se dikit dari titik
seimbang tidak me munc ulkan gaya. Kes eimbangan ini dise but ke seimbangan
netral.
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 67
BAB 6. ROTASI BENDA TE GAR 68
Bab 7
GRAVITASI
Hukum gravitasi universal yang dirumuskan oleh Newton, diawali dengan
b eb erapa p emahaman dan p engamatan empiris yang telah dilakukan oleh
ilmuwan- ilmuwan se b elumnya. Mula-mula Cop ernicus memb erikan landasan
p ola b erﬁkir yang tepat tentang p e rgerakan planet-planet, yang semula dikira
planet-plane t tersebut b ergerak mengelilingi bumi, sep erti pada kons ep P tole-meus. Cop ernicus meletakkan matahari sebagai pusat p erge rakan planet-planet, termasuk bumi, dalam gerak melingkarnya. K emudian dari data has il
p engamatan yang teliti te ntang p ergerakan planet, yang te lah dilakukan Ty-cho Brahe , K epler merumuskan tiga hukum empiris yang dike nal s ebagai
hukum Keple r menge nai gerak plane t:
1. Semua planet b ergerak dalam lintasan b erb entuk elips dengan matahari
pada salah s atu titik fokusnya.
2. Garis yang menghubungkan planet dengan matahari akan menyapu
69
BAB 7. G RAVITASI 70
daerah luasan yang s ama dalam waktu yang s ama.
3. Kuadrat p erio da planet mengelilingi matahari sebanding dengan pangkat
tiga j arak re rata plane t ke matahari.
Hukum-hukum K epler ini adalah hukum empiris. Ke plet tidak mempun-yai p enjelasan tentang apa yang mendasari hukum-hukumnya ini. Kelebi-han Newton, adalah dia tidak hanya dapat menje laskan apa yang mendasari
hukum-hukum Kepler ini, tetapi juga me nunj ukkan bahwa hukum yang sama
juga b erlaku secara universal untuk semua b e nda-b enda b ermassa.
7.1 Hukum Gravitasi Universal
Kita dapat menjabarkan, dengan cara yang sede rhana, hukum gravitasi uni-versal dengan me mulainya dari fakta-fakta empiris yang telah ditemuka Ke-pler. Untuk memudahkan analisa kita anggap bahwa planet-planet b ergerak
dalam lintasan yang b erb entuk lingkaran de ngan je jari r , de ngan kela juan
konstan v .
Karena planet b ergerak dalam lintasan lingkaran maka planet mengalami
p erce patan sentrip etal yang b esarnya dib e rikan oleh
a =
v 2
r
=
(2π r )2
r T 2 (7.1)
dengan T adalah p e rio de planet menge lilingi matahari. Percepatan ini ten-tunya disebabkan oleh suatu gaya yang mengarah ke pusat lingkaran (ke
BAB 7. G RAVITASI 71
matahari). B esar gaya ini te ntunya sama dengan mas sa planet m dikali p er-cepatan sentrip etalnya, sehingga b es ar gaya tadi dapat dirumuskan se bagai
F = m
4π 2 r
T 2 (7.2)
Hukum Ke pler ketiga dapat kita tuliskan se bagai
T 2 = k r 3 (7.3)
dengan k adalah suatu konstanta kese bandinga. Dengan p ersamaan hukum
Keple r ke tiga ini, b e sar gaya pada p ers. (7.2) dapat ditulis sebagai
F = m
4π 2
k r 2 = k 0 m
r 2 (7.4)
dengan k 0 adalah s uatu konstanta. K arena gaya ini mengarah ke pusat
lingkaran, yaitu ke matahari, tentunya logis bila dianggap bahwa gaya terse-but dise babkan oleh matahari.
Be rdasarkan hukum ketiga New ton, tentunya akan ada gaya juga yang
b ekerja pada matahari oleh plane t, yang b esarnya s ama de ngan gaya di p ers.
(7.4). Tetapi karena s ekarang b e kerja pada matahari, tentunya konstanta k 0
di p ers. (7.4) me ngandung massa matahari M sehingga logis bila diasumsikan
bahwa terdapat gaya yang saling tarik menarik antara planet dan matahari
BAB 7. G RAVITASI 72
yang b e sarnya dib erikan oleh
F = G
M m
r 2 (7.5)
Newton, setelah mengamati hal yang sama pada bulan dan pada b e nda-b enda yang jatuh b ebas di p ermukaan bumi, menyimpulkan bahwa gaya tarik
menarik tadi b e rlaku secara unive rs al untuk se mbarang b enda. Gaya tadi ke-mudian dinamai sebagai gaya gravitasi. Jadi antara dua b enda b e rmassa m 1
dan m 2 yang terpis ah s ejauh r terdapat gaya gravitasi yang p erumusannya
dib erikan oleh
~F12 = G
m 1 m 2
r 2 ˆr 12 (7.6)
dengan ˆr 12 adalah vektor s atuan yang b e rarah dari b enda p ertama ke b enda
kedua. (Notas i 12, b erarti pada b enda p ertama oleh b enda kedua).
Konstanta G dalam p ersamaan gravitas i universal, dapat ditentukan me lalui
eksp e rime n. Pengukuran yang teliti untuk nilai G dilakukan oleh C avendish.
Sekarang nilai konstanta gravitasi universal dib erikan oleh
G = 6, 6720 × 10− 11 m2 /kg 2 (7.7)
Dalam p enj abaran di atas , diasumsikan bahwa b enda p ertama dan ke-dua adalah suatu titik mass a. Untuk b e nda yang b esar, yang tidak dapat
dianggap s ebagai titik mas sa maka sumbangan dari mas ing- masing elemen
massa harus dip erhitungkan. Untuk itu dip e rlukan p erhitungan-p erhitungan
BAB 7. G RAVITASI 73
kalkulus integral. Salah satu has il capaian Newton, dia b erhas il menun-jukkan, de ngan bantuan kalkulus integral, bahwa sebuah b e nda b erb entuk
b ola (juga kulit b ola) de ngan distribusi mas sa yang homogen, akan mem-b erikan gaya gravitas i ada sebuah titik massa di luar b ola tadi dengan mas sa
b ola seolah-olah te rkonsentrasi pada titik pus at b ola. De ngan ini kita da-pat misalnya menganggap gaya gravitas i bumi seolah- olah dise babkan oleh
sebuah titik massa yang b e rada pada pus at bumi.
Hukum K epler kedua, untuk kasus lintasan planet yang b erb entuk lingkaran,
hanya menunjukkan bahwa ke la juan plane t mengelilingi matahari konstan.
Tetapi untuk kas us lintasan yang se sungguhnya, yaitu yang b e rb entuk elips,
hukum kedua Kepler menunjukkan tentang keke kalan mome ntum sudut. Li-hat gambar
Dae rah yang dis apu oleh garis yang menghubungkan plane t dengan mata-
BAB 7. G RAVITASI 74
hari dalam s uatu se lang waktu ∆t dib erikan oleh
∆A =
1
2
r 2 ω ∆t (7.8)
sehingga p ernyataan bahwa untuk s elang waktu yang sama daerah yang dis-apu sama, sama de ngan menyatakan bahwa b esaran b e rikut ini konstan
ω
r
2
(7.9)
Tetapi bila ini kita kalikan de ngan mas sa planet, akan kita dapatkan bahwa
b es aran mω r 2 yang tidak lain sama dengan b esar total momentum sudut
sistem (dengan matahari s ebagai titik ref erensi). Jadi dalam sistem planet
matahari, gaya gravitasi tidak menimbulkan p erubahan momentum sudut.
7.2 Medan Gravitasi
Konsep gaya gravitasi, dimana dua b enda yang te rpis ah dan tidak saling
sentuh dapat meme b erikan p e ngaruh satu s ama lain, merupakan konsep
yang sulit dipahami bagi ilmuwan ﬁsika klasik dahulu. B agi mereka semua
gaya harus melalui p ersentuhan, minimal harus ada p erataranya. Karena
itu terkait dengan gaya gravitasi, mereka me mp erkenalkan konsep medan
gravitasi. Jadi pada ruang di s ekitar sebuah b enda yang b ermas sa m akan
timbul medan gravitasi. Apabila pada me dan gravitasi tadi terdapat sebuah
b enda yang b ermas sa, maka b enda tadi akan mengalami gaya gravitasi. Kuat
BAB 7. G RAVITASI 75
medan gravitasi pada suatu titik dalam ruang diukur de ngan menggunakan
suatu massa uji yang kec il. Kuat medan gravitas dib erikan ole h p erumusan
~g =
~F
m
(7.10)
sehingga medan gravitasi di sekitar s ebuah b enda b e rmassa m dib erikan oleh
~g = G
m
r 2 ˆr (7.11)
7.3 Energi Pote nsial G ravitasi
Usaha yang dilakukan ole h gaya gravitasi se buah b e nda b e rmassa M (yang
diasumsikan b erada di titik pus at ko ordinat) pada b e nda lain yang b ermas sa
m , yang menyebabkan p erpindahan b enda kedua dari j arak r a ke r b dib erikan
oleh
W = Z b
a
−G
m M
r 2 ˆr · d~s = − Z b
a
G
M m
r 2 dr = GM m 1
r b − 1
r a
(7.12)
Tanda minus dalam gaya di atas karena arah gayanya adalah ke pus at ko-ordinat. Jelas dari hasil di atas bahwa gaya gravitasi adalah gaya konser-vatif. Karena itu kita dapat mendeﬁnisikan konsep e nergi p otensial gravitas i
melalui
∆U = −W = −GM m 1
r b − 1
r a
(7.13)
BAB 7. G RAVITASI 76
Bila kita asumsikan r a b erada pada jauh tak hingga, dan r b = r , dan di-asumsikan pada titik j auh tak hingga p otensial gravitas inya lenyap (=nol),
maka kita dapatkan
U (r ) = − GM m
r
(7.14)
Untuk suatu ketiggian dekat p ermukaan bumi, maka kita pilih pada p ers.
(7.13) r a = R , j ejari bumi (= jarak p ermukaan bumi dari pusatnya), dan
r b = R + h. Kemudian dias umsikan bahwa U (R ) = 0, maka kita p eroleh
energi p otensial gravitasinya
U (r ) = −GM m 1
R + h − 1
R = −GM m R − (R + h)
(R + h)R ≈ GM
R 2 mh (7.15)
Tetapi b es aran GM /R 2 tidak lain dari p ercepatan gravitas i bumi g , sehingga
untuk ke tingggian dekat p e rmukaan bumi
U (h) = mg h (7.16)
Bab 8
FLUIDA
Dalam bagian ini kita mengkhus uskan diri pada materi yang memiliki keadaan
khusus. B ila seb elumnya kita p ernah me mbahas materi atau b enda te gar,
di mana jarak relatif antara bagian- bagian atau partike l- partikel p enyus un
mate ri tetap, maka se karang kita meninjau kas us ke balikannya, yaitu ka-sus di mana jarak re latif antara bagian-bagian mate ri atau partikel- partikel
p enyusun materi dapat b erubah- ubah. Materi yang b erada dalam keadaan
ini dis ebut sebagai ﬂuida, dapat b erupa cairan maupun gas, dan dinamai
ﬂuida karena memiliki s ifat dapat mengalir. Kare na partike l-partikel dalam
ﬂuida dapat mudah b ergerak, maka sec ara umum rapat massanya tidak kon-stan. Walaupun b egitu dalam buku ini, dalam ke banyakan kas us kita hanya
akan me ninjau keadaan de ngan kerapatan konstan. Kita akan me mp ela jari
fenomena-fenomena ﬁsis dari ﬂuida, khus usnya terkait dengan sifatnya yang
dapat mengalir.
77
BAB 8. FLUIDA 78
8.1 Te kanan
Sebuah gaya yang b eke rj a pada s ebuah p e rmukaan ﬂuida akan selalu te gak
lurus pada p ermukaan terse but. K arena ﬂuida yang diam tidak dapat me na-han komp onen gaya yang seja j ar dengan p ermukaannya. Komp one n gaya
yang seja jar dengan p ermukaan ﬂuida akan me nyebabkan ﬂuida tadi b erg-erak mengalir. Karena itu kita dapat mendeﬁnisikan suatu b esaran yang
terkait dengan gaya normal p ermukaan dan e lemen luasan p ermukaan suatu
ﬂuida.
Kita tinjau suatu ﬂuida, dan kita ambil suatu bagian volume dari ﬂuida
itu dengan b entuk se mbarang, dan kita b eri nama S . Se cara umum akan
terdapat gaya dari luar S pada p ermukaannya oleh materi di luar S . Se suai
prinsip hukum Newton ketiga, mestinya akan ada gaya dari S yang, sesuai
p embahas an di atas, mengarah tegak lurus pada p ermukaan S . Gaya tadi
diasumsikan s ebanding dengan elemen luas p ermukaan d ~S , dan konstanta
kesebandingannya dideﬁnis ikan sebagai tekanan
~F = p d ~S (8.1)
Jadi arah ~F adalah tegak lurus p ermukaan, searah dengan arah d ~S , dan
tekanan p adalah b esaran skalar. Satuan SI dari tekanan adalah pas cal (Pa),
dan 1 Pa = 1 N/m 2 .
BAB 8. FLUIDA 79
8.2 Te kanan Hidrostatik
Dalam suatu ﬂuida yang diam, se tiap bagian dari ﬂuida itu b erada dalam
keadaan kesetimbangan mekanis. K ita tinj au sebuah ele men b erb entuk cakram
pada suatu ﬂuida yang b erjarak y dari dasar ﬂuida, dengan ketebalan cakram
d y dan luasnya A (lihat gambar).
Total gaya pada elemen cakram tadi harus sama dengan nol. Untuk arah
horiz ontal gaya yang b e kerja hanyalah gaya tekanan dari luar elemen cakram,
yang karena simetri haruslah sama. Untuk arah vertikal, selain gaya tekanan
yang b ekerja pada p ermukaan bagian atas dan bagian bawah, juga terdapat
gaya b erat, s ehingga
pA − (p + dp )A − dw = 0 (8.2)
BAB 8. FLUIDA 80
dengan dw = ρg Ad y adalah eleme n gaya b erat. Kita dapatkan
dp
d y
= −ρg (8.3)
Persamaan ini memb erikan informasi bagaimana tekanan dalam ﬂuida b erubah
dengan ketinggian s ebagai akibat adanya gravitas i.
Tinjau kasus khus us bila ﬂuidanya adalah c airan. Untuk cairan, pada
rentang suhu dan tekanan yang cukup b esar, massa jenis c airan ρ dapat
dianggap tetap. Untuk kedalaman cairan yang tidak terlalu b esar kita dapat
asumsikan bahwa p ercepatan gravitasi g konstan. Maka untuk sembarang
dua p osisi ketinggian y 1 dan y 2 , kita dapat me ngintegrasikan p ersamaan di
atas Z p2
p1
dp = −ρg Z y 2
y 1
d y (8.4)
atau
p 2 − p 1 = −ρg (y 2 − y 1 ) (8.5)
Bila kita pilih titik y 2 adalah p ermukaan atas cairan, maka tekanan yang
b eraksi di p ermukaan itu adalah te kanan udara atmosfer, sehingga
p = p 0 + ρg h (8.6)
dengan h = (y 2 − y 1 ) adalah kedalaman cairan diukur dari p ermukaan atas.
Untuk ke dalaman yang sama tekanannya s ama.
Kasus lain adalah bila ﬂuidanya adalah gas, atau lebih khusus lagi bila
BAB 8. FLUIDA 81
ﬂuidanya adalah udara atmosfer bumi. Sebagai titik refe re nsi adalah p er-mukaan laut (ketinggian nol), dengan te kanan p 0 dan massa jenis ρ 0 . Kita
asumsikan gas nya adalah gas ideal yang mana mass a j enisnya se banding den-gan te kanan, s ehingga
ρ
ρ 0
=
p
p 0
(8.7)
Dengan memakai p ers. (8.3), maka
dp
dy
= −g ρ0
p
p 0
(8.8)
atau
d p
p
= − g ρ0
p 0
dy (8.9)
yang bila diintegralkan akan menghas ilkan
p = p 0 e− g ( ρ 0 /p 0 ) y (8.10)
8.3 Prinsip Pascal dan Archimedes
Untuk suatu cairan dalam wadah tertutup, tetap b erlaku p ers . (8.5). Karena
itu bila terjadi p erubahan te kanan ada titik 1 seb e sar ∆p 1 , maka
∆p 2 = ∆ p 1 − g (y 2 − y 1 )∆ρ (8.11)
BAB 8. FLUIDA 82
Tetapi untuk cairan p erubahan rapat massanya dapat diabaikan ∆ ρ ≈ 0,
sehingga ∆p 2 = ∆p 1 . Ini b erarti tekanan yang dib erikan pada titik 1 akan
diteruskan tanpa p engurangan ke se mbarang titik dalam c airan te rs ebut.
Inilah yang dikenal sebagai prinsip Pascal. Prinsip ini hanya konsekuensi
dari p ersamaan tekanan hidros tatika.
Kita tinjau s ebuah b enda yang tercelup ke dalam s uatu ﬂuida. Fluida
tadi akan me mb erikan faya tekanan kepada setiap bagian p ermukaan b enda.
Gaya tekan pada bagian yang le bih dalam tentunya lebih b esar (karena
tekanannya lebih b es ar). K arena itu total gaya tekan yang b eke rj a pada
seluruh p ermukaan b e nda tadi akan menimbulkan total gaya ke atas. B esar
gaya ke atas tadi bisa dip e roleh sebagai b erikut. Seandainya pada tempat
b enda tadi digantikan dengan ﬂuida yang sama dengan lingkungannya, maka
tentunya akan b erada dalam keadaan kesetimbangan. Sehingga total gaya ke
atas tadi tentunya s ama dengan b erat ﬂuida yang menggantikan b enda tadi.
Prinsip ini terkenal s ebagai prinsip Archimede s. Jadi pada sebuah b enda
yang tercelup ke dalam suatu ﬂuida akan te rdapat total gaya ke atas (gaya
apung) yang b esarnya sama de ngan b erat ﬂuida yang ditempati b enda tadi.
8.4 Penguku ran Tekanan
Tekanan udara diukur dengan menggunakan alat yang dib e rinama barom-eter. B arome te r yang p ertama kali dibuat adalah barome te r air raks a, bu-atan Torriclelli. Dari gambar jelas bahwa tekanan udara akan sama dengan
BAB 8. FLUIDA 83
tekanan titik P pada air raksa. Bagian atas dari kolom air raksa terdapat
uap air raksa yang tekanannya dapat diabaikan. Sehingga te kanan udara
dib erikan oleh
p = ρ m g h (8.12)
dengan ρ m adalah rapat massa air raksa.
Gambar 8.1: Barometer dan M anometer
Alat ukur tekanan yang lain adalah manometer air raksa (Lihat gambar).
Tekanan dalam tabung daat dicari dengan me nggunakan p ers. (?? )
p = p 0 + ρm g h (8.13)
BAB 8. FLUIDA 84
8.5 Jenis-Je nis Aliran Fluida
Pada bagian ini kita akan meninjau kasus ﬂuida b ergerak/mengalir. Normal-nya, ketika kita me ninjau keadaan ge rak dari suatu sistem partikel, kita akan
b erusaha memb erikan informasi menge nai p osisi dari s etiap partikel s ebagai
fungsi waktu. Tetapi untuk kasus ﬂuida ada meto de yang lebih mudah yang
dikembangkan mula-mula ole h Euler. Dalam meto de ini kita tidak mengikuti
p ergerakan mas ing- masing partike l, te tapi kita me mb e ri informasi mengenai
keadaan ﬂuida pada se tiap titik ruang dan waktu. Keadaan ﬂuida pada se-tiap titik ruang dan untuk seluruh waktu dib erikan oleh informasi mengenai
massa jenis ρ(~r , t) dan kecepatan ﬂuida ~v (~r , t).
Aliran ﬂuida dapat dikategorikan menurut b eb erapa kondis i
1. B ila vektor kecepatan ﬂuida di semua titik ~v = ~(~r ) bukan merupakan
fungsi waktu maka alirannya dise but aliran tetap (steady), sebaliknya
bila tidak maka dis ebut aliran tak tetap (non steady).
2. B ila di dalam ﬂuida tidak ada ele men ﬂuida yang b erotasi relatif ter-hadap suatu titik maka aliran ﬂuidanya disebut alira irrotas ional, sedan-gkan sebaliknya disebut aliran rotasional.
3. B ila mas sa je nis ρ adalah konstan, bukan merupakan f ungsi ruang dan
waktu, maka alirannya dise but aliran tak te rmampatkan, sebaliknya
akan disebut termampatkan.
4. B ila terdapat gaya gesek dalam ﬂuida maka alirannya disebut aliran
BAB 8. FLUIDA 85
kental, se dangkan sebaliknya akan dise but aliran tak kental. Gaya
gesek ini merupakan gaya-gaya tangensial terhadap lapis an- lapisan ﬂu-ida, dan menimbulkan disipasi e nergi mekanik.
8.6 Persamaan Kontinuitas
Tinjau suatu bagian b erb entuk se mbarang O dari suatu ﬂuida yang me ngalir.
Misalkan dalam bagian tersebut te rdapat s uatu sumb er (bila b ernilai p ositif )
atau b o coran (bila b ernilai negatif ), kita lambangkan dengan S yang mem-b eri (kela juan) jumlah mass a yang terb entuk atau hilang di O p er satuan
waktu. Seandainya tidak ada p erubahan mass a menjadi e ne rgi (total mas sa
kekal/kons tan), maka total massa ﬂuida p er satuan waktu yang masuk ke
O dikurangi mass a yang keluar dari O harus s ama de ngan S . Total mas sa
yang mas uk maupun ke luar dapat dicari dengan menghitung ﬂuks aliran
yang menembus p ermukaan O . Seb elumnya kita deﬁnisikan dulu rapat arus
ﬂuida sebagai p erkalian antara rapat massa dan kecepatan ﬂuida di suatu
titik ruang waktu,
~j = ρ~v (8.14)
Bila rapat arus ﬂuida dikalikan s kalar dengan elemen luas p e rmukaan d ~A
maka akan didapatkan
~j · d ~A = ρ~v · d ~A (8.15)
BAB 8. FLUIDA 86
Untuk setiap satuan waktu dt maka
~j · d ~A = ρ~v · d ~A = ρ
d~s
dt · d ~A = ρ
dV
dt
=
dm
dt
(8.16)
suku terakhir adalah la ju p erubahan mas sa yang me masuki O . B ila dalam
O tidak terdapat s umb er maka jumlah massa yang s ama harus ke luar dari
O , tetapi bila ada sumb er b erarti s elisih la ju p erubahan massa yang masuk
dan keluar s ama dengan S
−~j · d ~A + S =
dm
dt
(8.17)
yang dapat dituliskan sebagai
−~j · d ~A + S =
dm
dt
(8.18)
Kita tinj au kasus khus us dengan kecepatan ﬂuida tidak b ergantung waktu
dan dapat dianggap sama untuk titik-titik p e rmukaan yang tidak terlalu b e-sar. Kita ambil O b erb e ntuk tabung aliran dengan dua buah p ermukaan sisi
tutupnya A 1 dan A 2 . Dari p ers . (8.16), dapat dip eroleh bahwa total mass a
yang masuk pada p ermukaan A 1 dan yang keluar pada A 2 dapat dituliskan
sebagai
d m 1
dt
= ρ 1 ~v 1 · ~A 1 (8.19)
BAB 8. FLUIDA 87
dan
d m 2
dt
= ρ 2 ~v 2 · ~A 2 (8.20)
Bila tidak ada s umb er maka kedua nilai tadi harus sama, jadi
ρ 1 ~v 1 · ~A 1 = ρ 2 ~v 2 · ~A 2 (8.21)
Persamaan ini juga sering disebut se bagai p ersamaan kontinuitas, walau
seb enarnya hanya me rupakan kasus khusus s a ja.
8.7 Persamaan Be rnoulli
Persamaan Bernoulli seb enarnya hanya b entuk lain dari p e rs amaan kekekalan
energi mekanik yang diterapkan pada ﬂuida. Tentunya ﬂuida yang ditinjau
harus tak kental agar tidak terdapat disipas i ene rgi s ebagai panas . Lihat
gambar di bawah ini,
Sesuai dengan teorema usaha-energi kita ketahui bahwa usaha oleh gaya
non konse rvatif sama de ngan p erubahan energi mekanik.
W nk = ∆ Em (8.22)
Dalam kasus di atas, usaha non konservatifnya dilakukan oleh gaya tekanan.
Usaha totalnya adalah
W nk = ( p 1 A 1 v 1 − p 2 A 2 v 2 )∆t (8.23)
BAB 8. FLUIDA 88
Sedangkan p erubahan e ne rgi me kaniknya adalah
1
2
(ρ2 A 2 v 2 ∆t)v 2 + g (ρ2 A 2 v 2 ∆t)y 2 − 1
2
(ρ 1 A 1 v 1 ∆t)v 2
1 − g (ρ 1 A 1 v 1 ∆t)y 1 (8.24)
sehingga
p 1 A 1 v 1 ∆t+
1
2
(ρ 1 A 1 v 1 ∆t)v 2
1 +g (ρ1 A 1 v 1 ∆t)y 1 = p 2 A 2 v 2 ∆t+
1
2
(ρ 2 A 2 v 2 ∆t)v 2 +g (ρ 2 A 2 v 2 ∆t)y 2
(8.25)
Tetapi dari p e rs amaan kontinuitas diketahui ρ 1 v 1 A 1 = ρ2 v 2 A 2 , dan bila dia-sumsikan bahwa ρ1 = ρ 2 = ρ maka
p 1 +
1
2
ρv 2
1 + ρg y 1 = p 2 +
1
2
ρv 2 + ρg y 2 (8.26)
atau
p +
1
2
ρv 2 + ρg y = kons tan (8.27)
Inilah p e rs amaan Bernoulli.
Bab 9
GE TARAN DAN
GE LOMBANG
9.1 GETARAN
Getaran adalah salah satu b entuk gerak yang khusus. Kita hanya akan
meninjau ge taran atau osilasi yang s ederhana. Untuk itu kita akan meninjau
energi p ote nsial yang dimiliki s ebuah partikel b ermass a m yang b erada dalam
keadaan kes etimbangan stabil di sekitar titik 0. Secara umum b entuk energi
p otensialnya adalah
U = U 0 − ax 2 + O (x 3 ) (9.1)
dengan O (x 3 ) adalah suku-suku energi p otensial dengan variab e l x b erpangkat
tiga atau lebih, yang tentunya harus sangat ke cil dibandingkan suku pangkat
duanya (bila tidak maka bukan ke setimbangan stabil). G aya yang terkait
89
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 90
dengan energi p ote nsial ini dapat dic ari dari
Fx dx = −dU (9.2)
atau
Fx = − dU
d x
= −2ax + O (x 2 ) (9.3)
bila suku gaya pangkat dua atau lebih s angat ke cil atau dapat diabaikan,
maka ini tidak lain dari gaya p egas , dan dengan 2a = k maka p ersamaan di
atas dapat dituliskan se bagai
Fx = m
d2 x
d t2 = −k x (9.4)
atau
m
d2 x
dt2 + k x = 0 (9.5)
Persamaan ini memiliki b entuk p enyelesaian umum
x (t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) (9.6)
dengan
ω = r k
m
(9.7)
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 91
adalah frekuensi sudut dari getaran. Persamaan di (9.6) dapat ditulis kan
juga sebagai
x (t) = A 0 sin( ω t + φ) = A 0 (sin ω t cos φ + cos ω t sin φ) (9.8)
dengan A = A 0 cos φ dan B = A 0 sin φ, (s ehingga φ = arcs in B /A yang
disebut se bagai f ase getaran), dan A 0 disebut se bagai amplitudo getaran.
Ge taran yang memenuhi p ers amaan (9.5) disebut se bagai getaran selaras
sede rhana.
Be rikut ini b eb erapa contoh getaran selaras sede rhana
9.1.1 Bandul
Sebuah bandul yang b erada dalam medan p otensial gravitasi, bila disim-pangkan tidak j auh dari titik kes eimbangannya akan mengalami gerak getaran.
Lihat gambar di bawah ini
Komp onen gaya yang dialami bandul b ermass a m yang se ja jar dengan
arah geraknya adalah
F = m
d2 x
d t2 − mg sin θ (9.9)
Tanda negatif karena arah gaya b e rlawanan dengan arah simpangan p os itif
x . Untuk simpangan yang tidak terlalu b esar, sin θ dapat kita dekati s ebagai
sin θ ≈ θ (dalam radian) dan x ≈ Lθ sehingga
d 2 θ
dt2 +
g
L
θ = 0 (9.10)
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 92
Gambar 9.1: Bandul
yang merupakan p ersamaan getaran s elaras s ederhana dengan frekuensi
ω = r g
L
(9.11)
9.1.2 Bandul Mekanis
Sebuah b enda digantung pada titik P dan memiliki momen inersia te rhadap
sumbu P seb esar IP .
Be nda ini disimpangkan dari titik se imbangnya dan ke mudian b erge tar.
Torka yang dialami b e nda tadi, akibat gaya gravitasi yang b ekerja pada titik
pusatnya dapat dituliskan sebagai
τ = IP α = IP
d2 θ
dt2 = −M g L sin θ (9.12)
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 93
Gambar 9.2: Bandul mekanik
Untuk sudut yang cukup kec il sin θ ≈ θ sehingga
d 2 θ
dt2 +
M g L
IP
θ = 0 (9.13)
Penyelesaian p ersamaan ini adalah suatu getaran selaras sederhana dengan
frekuensi sudut
ω = r M g L
IP
(9.14)
9.2 Getaran Teredam dan Re sonansi
Dalam ke nyataan di alam, selain gaya yang menimbulkan ge taran juga ter-dapat gaya yang menghambat gerak ge taran. Se hingga semua ge rak getaran
akhirnya b erkurang e ne rginya dan b erhenti b ergetar. Sebagai mo del seder-hana kita asums ikan ge taran teredam dengan gaya redaman yang sebanding
dengan kecepatan b enda, s ehingga p ers amaan gerak b enda dapat ditulis se-
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 94
bagai
F = −k x − bv (9.15)
atau
d2 x
d t2 +
b
m
dx
d t
+
k
m
x = 0 (9.16)
Penyelesaian p ersamaan di atas ini dapat dituliskan se bagai b erikut
x = Ae− bt/ 2 m cos(ω 0 t + φ) (9.17)
dengan
ω 0 = r k
m − b
2m 2
. (9.18)
Be ntuk graﬁk getarannya s ebagai b erikut
Gambar 9.3: Getaran teredam
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 95
9.2.1 Resonansi
Terkadang suatu sistem yang dapat b ergetar mendapat gaya yang juga p e-rio dik. Dalam kasus ini b enda akan b ergetar dengan amplitudo yang b e-sar ke tika frekue nsi alaminya s ama dengan f re kuens i gaya eksternal p eri-o diknya. Sebagai mo del misalkan gaya eksternal p e rio diknya dib erikan ole h
F = Fr cos ω 00 t, s ehingga p ersamaan geraknya (dengan mengikuts ertakan
faktor redaman)
F = −k x − bv + Fr cos ω 00 t (9.19)
atau
d 2 x
dt2 +
b
m
d x
dt
+
k
m
x = Fr cos ω 00 t (9.20)
Dari p ersamaan di atas, te ntunya logis bila ge tarannya harus memiliki f re kue nsi
yang s ama dengan frekuens i getaran gaya eksternal p erio dik ω 00 , tetapi mungkin
terdapat b eda fase. Dapat ditunjukkan bahwa p enyelesaian p ers amaan di
atas adalah
x =
Fr
G
sin(ω 00 t + φ) (9.21)
dengan
G = pm 2 (ω 00 2 − ω 2 )2 + b 2 ω 00 2 (9.22)
dan
φ = arccos
bω 00
G
(9.23)
Tampak bahwa nilai G akan minimum dan amplitudo akan maksimum
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 96
ketika ω = ω 00 . Peristiwa inilah yang biasa disebut res onansi.
9.3 Energi Getaran
Energi p otensial sebuah s istem p e gas dib erikan ole h
U =
1
2
k x 2 (9.24)
sedangkan energi kinetiknya dib erikan oleh
Ek =
1
2
mv 2 (9.25)
maka dengan
x = A sin(ω t + φ) (9.26)
dan
v =
dx
dt
= Aω cos(ω t + φ) (9.27)
maka energi total mekanik s istem p e gas yang b ergetar dib erikan oleh
E = Ek + U =
1
2
k A2 sin 2 (ω t + φ) +
1
2
m ω 2 A 2 cos2 (ω t + φ) =
1
2
k A2 (9.28)
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 97
9.4 GELOMBANG
Gelombang adalah ge taran yang merambat. Jadi di s etiap titik yang dilalui
gelombang terjadi ge taran, dan getaran terse but b erubah fasenya s ehingga
tampak s ebagai getaran yang merambat. Terkait dengan arah getar dan arah
rambatnya, gelombang dibagi me nj adi dua kelomp ok, geklombang trans ver-sal dan gelombang longitudinal. Gelombang transversal arah rambatnya
tegak lurus dengan arah getarannya, se dangkan gelombang longitudinal arah
rambatnya searah dengan arah getarannya.
Persamaan gelombang memenuhi b entuk
d2 x
d z 2 =
1
v 2
d 2 x
dt2 (9.29)
Be ntuk umum p enyelesaian p ersamaan di atas adalah semua fungsi yang
b erb e ntuk x (z , t) = x (z ± v t). Hal ini dapat ditunjukkan dengan mudah.
Be ntuk yang cukup sede rhana yang menggambarkan gelombang sinusoidal
adalah p enyelesaian yang b erb e ntuk
x (z , t) = A sin( k z ± ω t + φ) (9.30)
Untuk suatu waktu t tertentu (mis alkan t = 0, dan pilih φ = 0) maka
x (z , t) = A sin(k z ) (9.31)
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 98
Ini adalah p ersamaan sinusoidal dengan j arak dari s atu fase ke fase b erikut-nya dib erikan ole h
z ≡ λ =
2π
k
(9.32)
atau b erarti
k =
2π
λ
(9.33)
Bilangan k ini menunjukkan j umlah gelombang atau bilangan gelombang p er
2π satuan panjang.
Untuk suatu p osisi tertentu (misalkan z = 0, dan pilih φ = 0) maka
x (z , t) = −A sin( ω t) (9.34)
Ini adalah p e rs amaan getaran sinusoidal di suatu titik. Perio de getarnya
dib erikan oleh
t ≡ T =
2π
ω
(9.35)
atau b erarti
ω =
2π
T
= 2π f (9.36)
dengan f adalah frekuensi ge lombang.
Untuk suatu f ase tertentu dari ge lombang, p ola gelombang tersebut akan
tetap selama nilai k x − ω t tetap. Sehingga dengan b erjalannya waktu, nilai
k z juga harus b ertambah. Ini b e rarti p ola gelombang akan merambat ke
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 99
kanan dengan kec epatan yang dib e rikan oleh
k d z
d t
= ω (9.37)
atau
v =
d z
dt
=
ω
k
(9.38)
9.5 Sup erp osisi Ge lombang
Dua buah gelombang dapat dij umlahkan atau disup erp osisikan. Ada b eb er-apa kasus yang akan kita tinjau. K as us dua gelombang dengan ω , k sama
tetapi b erb eda f ase nya. K asus dua gelombang de ngan ω , k sama tetapi arah
geraknya b erlawanan. Kasus dua gelombang dengan ω dan k nya b erb eda
sedikit.
9.5.1 Be da fase
Misalkan kita punya
x 1 = A sin(k z − ω t + φ1 ) (9.39)
x 2 = A sin(k z − ω t + φ2 ) (9.40)
Penjumlahan ke dua gelombang ini menghasilkan
x tot = x 1 + x 2 = 2A sin(k z − ω t + ¯φ) c os( δ φ) (9.41)
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 100
dengan ¯φ = ( φ1 + φ2 )/2 dan δ φ = ( φ1 − φ2 )/2
9.5.2 Be da ar ah ke cepatan
Misalkan kita punya
x 1 = A sin( k z − ω t) (9.42)
x 2 = A sin(k z + ω t) (9.43)
Penjumlahan ke dua gelombang ini menghasilkan
x tot = x 1 + x 2 = 2A sin( k z ) c os( ω t) (9.44)
Fe nomena ini sering disebut s ebagai ge lombang te gak
9.5.3 Be da fr ekeunsi dan panjang gelombang
Misalkan kita punya
x 1 = A sin(k 1 z − ω1 t) (9.45)
x 2 = A sin(k 2 z − ω2 t) (9.46)
Penjumlahan ke dua gelombang ini menghasilkan
x tot = x 1 + x 2 = 2A sin( ¯k z − ¯ω t + ¯φ) c os( δ k z − δ ω t) (9.47)
BAB 9. G ETA RAN DAN GELOMBANG 101
dengan ¯k = (k 1 + k 2 )/2, ¯ω = (ω1 + ω2 )/2 dan δ k = (k 1 − k 2 )/2, δ ω =
(φ1 − φ2 )/2
Ketika b edanya sangat kecil maka munc ul f enome na yang disebut sebagai
layangan.

Fisika Dasar

0 komentar:

Posting Komentar